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【高等数学重点题型篇】——函数，极限与连续_2x的极限是不是定型

作者：我家自动化 | 2024-08-03 02:01:27

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2x的极限是不是定型

本文仅用于个人学习记录，使用的教材为汤家凤老师的《高等数学辅导讲义》。本文无任何盈利或者赚取个人声望的目的，如有侵权，请联系删除！

文章目录

一、左右极限
二、不定型极限的计算问题
三、n项和或积的极限计算
四、极限存在性问题
五、中值定理法求极限问题
六、含变积分限的函数极限问题
七、间断点及其分类
八、闭区间上连续函数性质

一、左右极限

左右极限例题

二、不定型极限的计算问题

思路分析

基本不定型 $\frac{0}{0}$ 型，1 $^\infty$ 型，其他不定型 $\frac{\infty}{\infty}$ 型， $\infty$ ⁰型，0⁰型
$\frac{0}{0}$ 型极限计算常用方法有，等价无穷小替换，洛必达法则，麦克劳林公式等。

$\frac{0}{0}$ 型极限计算可用如下技巧

出现u(x)^v(x)时，一般化为e^v(x)lnu(x)
出现ln(1 + Δ)时，一般使用ln(1 + Δ) ~ Δ
出现Δ - 1时，一般使用e^x - 1 ~ x及(1 + x)^a - 1 ~ ax

1 $^\infty$ 型极限计算时按如下两个步骤进行

凑(1 + Δ) $^\frac{1}{Δ}$ 形式
恒等变形

不定型极限的计算例题

解决本题需要明确以下知识点

洛必达法则

若f(x)与F(x)满足以下条件

x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0；
在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0；
x $\rightarrow\ a$ 时， $\lim_{\frac{f'(x)}{F'(x)}}$ 存在或为无穷大；

则x $\rightarrow\ a$ 时， $\lim_{\frac{f(x)}{F(x)}}$ = $\lim_{\frac{f'(x)}{F'(x)}}$

洛必达法则常用来解决 $\frac{0}{0}$ 型和 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限

基本求导公式

原函数	一阶导函数	特别的
C‘	0
(x^a)’	ax^a-1	( $\sqrt[]{x}$ )’ = $\frac{1}{2\sqrt[]{x}}$ ，( $\frac{1}{x}$ )’ = - $\frac{1}{x\ ^2}$
(a^x)’	a^xlna（a> 0，a ≠ 1）	(e^x) = e^x
(log_a^x)’	$\frac{1}{xlna}$ （a> 0，a ≠ 1）	(ln x)’ = $\frac{1}{x}$

三角函数和反三角函数求导

原函数	一阶导函数
(sin x)’	cos x
(cos x)’	-sin x
(tan x)’	sec² x
(cot x)’	-csc² x
(sec x)’	sec x tant x
(csc x)’	-csc x cot x
(arcsin x)’	$\frac{1}{\sqrt[]{1-x\ ^2}}$
(arccos x)’	- $\frac{1}{\sqrt[]{1-x\ ^2}}$
(arctan x)’	$\frac{1}{1+x\ ^2}$
(arccot x)’	- $\frac{1}{1+x\ ^2}$

三角函数的基本关系

1 + tan² x = sec² x

计算不定型极限例题

本题需要明确以下知识点

巧妙运用极限的四则运算性质
分子带根式时可以进行分子有理化

不定型极限计算例题

本题需要明确一下知识点

学会巧妙运用加一个值减一个值的恒等变形方法，将一个分式拆解成两个分式
反向利用等价无穷小，比如将x换成sinx，学会使用换元法简化问题
掌握常用的因式分解公式，比如平方差公式

计算不定型极限例题

本题需要明确以下知识点

积分换元法
换元后积分上下限也要改变
交换积分上下限可以抵消负号
变限积分求导
[ ∫_g(x)^h(x)f(t)dt ]’ = h’(x)f[h(x)] - g’(x)f[g(x)]
导数的定义
f’(x₀) = $\lim_{x\rightarrow\ x0\frac{f(x) - f(x0)}{x - x0}}$
凑微分法
将被积函数的一部分拿到d后面去，组成∫f(u)du的形式

计算不定型极限问题

本题需要明确以下知识点

几个重要函数的泰勒展开式

几个重要函数的泰勒展开式

记住一个x $\rightarrow$ 0时的等价无穷小，x - ln(1 + x) ~ $\frac{x\ ^2}{2}$

计算极限例题
本题使用两个重要极限的知识来计算，除此之外，还需要明确以下知识点

灵活运用极限的四则运算性质
比如计算 $\frac{tant x - sin x}{x\ ^3}$ 的极限。可以将其拆成两个因式相乘，拆成 $\frac{tant x}{x}$ $\frac{1 - cos x}{x\ ^2}$
在计算极限时，通过将极限值代入来简化计算，可以直接代入的条件是，分子或者分母只有乘法运算时，可以直接代入极限值简化运算。
出现e和幂函数时，可以考虑将a^x转换成xln a的形式

极限计算例题

本题需要明确以下知识点

针对x $\rightarrow\infty$ 的情况，可以换元，然后恒等变换利用等价无穷小计算极限
$\lim_{x\rightarrow\ 0}$ xln x = 0，计算时将x放到分母，变成 $\frac{1}{x}$
本题第五问可以乘一个x再除以一个x计算

计算极限例题

三、n项和或积的极限计算

思路分析

n项和或积的极限计算的一般方法

先计算和或积，在计算极限
夹逼定理（分子或分母次数不齐时，可以考虑使用夹逼定理）
定积分的定义（分子及分母次数都齐时，可以考虑使用定积分的定义求极限）

补充

齐与不齐的判断方法是看次数，比如1,2,3,……n，这些都是1次。n²这种是两次
利用定积分定义求极限，最简单的情形是 $\lim_{n\rightarrow\infty\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n}\ f(\frac{i}{n})$ = $\int_0^1f(x)dx$

利用定积分定义求极限的方法

将变化的量变为x，得到f(x)
根据变化的量的取值范围确定积分区间
看 $\frac{1}{n}$ 是否是底，决定是否补系数

n项和或积的极限计算例题

本题需要明确以下知识点

裂项相消法求数列的前n项和。实际就是求出通项公式a_n，将分母拆成两部分，有一部分会相互抵消，然后求出前n项和。
等差数列的前n项和公式S_n = $\frac{n(a1 + an)}{2}$
第三和第四问巧妙地通过分子分母同乘一个式子达到化简的目的。第三问运用了三角函数的倍角公式，第四问运用了平方差公式展开。

本题全部是利用定积分的定义来求解，凑出定积分定义的形式，除此之外，还需要明确以下知识

$\frac{1}{\sqrt{1 + x\ ^2}}$ 的原函数是ln(x + $\sqrt{1 + x\ ^2}$ )
掌握利用分部积分法求原函数，分部积分法的公式为 $\int$ u dv = uv - $\int$ v du
结合夹逼定理使用定积分的定义来求极限

四、极限存在性问题

思路分析

数列极限存在性问题通常分为两种情形

不存在递推关系
存在递推关系 —— 单调有界定理，单调递增有上界，单调递减有下界

证明数列{a_n}单调性和有界性通常使用如下方法

数学归纳法
使用重要不等式
判断a_n+1 - a_n的符号
若a_n+1 = f(a_n)，令y = f(x)，若f’(x) ≥ 0，则{a_n}单调，其中若a₁ ≤ a₂，则数列{a_n}单调递增，若a₁ ≥ a₂，则数列{a_n}单调递减。
若a_n+1 = f(a_n)中f(a_n)具有中值的形式，可以使用中值定理。

补充知识

1. 数学归纳法证明步骤

n取第一个值时命题成立
假设n = k时命题成立，证明n = k + 1时命题也成立

最终的得到命题成立。

2. 重要不等式

下面总结一些常用的重要不等式

重要不等式
a,b为实数，\|a ± b\| ≤ \|a\| + \|b\|，\|\|a\| - \|b\|\| ≤ \|a - b\|
$\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{a + b}{2}$ ≤ $\sqrt{\frac{a\ ^2 + b\ ^2}{2}}$ （a,b > 0）
sin x ＜ x ＜ tan x（0 < x < $\frac{Π}{2}$ ）
sin x < x（x > 0）
对任意的x，e^x ≥ x + 1
x - 1 ≥ ln x（x > 0）
$\frac{1}{1 + x}$ < ln( $\frac{1}{1 + x}$ ) < $\frac{1}{x}$ （x > 0）

3. 中值定理

这里简单列举一下中值定理

中值定理	描述
罗尔定理	设f(x) ∈ C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a) = f(b)，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f’(ξ) = 0
拉格朗日中值定理	设f(x) ∈ C[a,b]，在(a,vb)内可导，则存在ξ ∈ (a,b)，使得f’(ξ) = $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
柯西中值定理	设f(x)，g(x) ∈ C[a,b]，在(a,b)内可导，且g’(x) ≠ 0（a < x < b），则存在ξ ∈ (a,b)，使得 $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ = $\frac{f'(ξ)}{g"(ξ)}$