图解二叉树，拿下拿下！_程序员会去看的二叉树

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一、树形结构概念特性

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。由于它在结构上看起来像一颗倒挂的树，根朝上，而叶朝下，因而叫做树。

结构特性：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M个互不相交的集合，每个集合又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有 $1$ 个前驱，可以有 $0$ 个或 多个 后继。

应用场景:
树形结构在各个领域都有着广泛的应用，用于处理层次化的数据和建立关联关系。比较常见的有：

• 文件系统管理（目录和文件）
• XML/HTML文档解析

树形结构示意图：

树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，其中就包括：

1. 除根节点外，每个结点有且仅有 $1$ 个父节点
2. 一颗 $N$ 个结点的树，有 $N-1$ 条边

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二、树形结构基本概念术语

以下这些概念是需要掌握的，大家一定要理解每个术语的含义：

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：F、H、I、K、L 节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

以下概念只需了解，只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：B、C、D…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：F、G互为堂兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

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三、树的存储结构

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。其中常用的是 孩子兄弟表示法，具体结构如下：

class Node {
	int value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
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四、二叉树 概念与特性

二叉树是一种特殊的树形结构：

1. 二叉树不存在度大于 $2$ 的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是 有序树

五、特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为$k$，且结点总数是 $2^k-1$，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 $k$ 的，有 $n$ 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 $k$ 的满二叉树中编号从 $0$ 至 $n-1$ 的结点一一对应时称之为完全二叉树。

3. 要注意的是 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

六、二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为 $1$，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点.

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为 $1$，则深度为K的二叉树的最大结点数是 $2^k-1(k>=0)$.

3. 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为 $n_0$，度为 $2$ 的非叶结点个数为 $n_2$，则有 $n_0＝n_2＋1$，即度为 $0$ 的节点比度为 $2$ 的节点多 $1$ 个.

4. 具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度 $k$ 为 ${\log }_2(n+1)$ 上取整.

5. 具有 $n$ 个结点的完全二叉树，如果 $n$ 为奇数，则度为 $1$ 的节点个数为 $0$；如果 $n$ 为偶数，则度为 $1$ 的节点个数为 $1$.

6. 对于具有 $n$ 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从 $0$ 开始编号，则对于序号为 $i$ 的结点有：
   若 $i=0$，$i$ 为根结点编号，无双亲结点.
   若 $i>0$，双亲序号：$(i-1)/2$.
   若 $2i+1<n$，左孩子序号：$2i+1$，否则无左孩子.
   若 $2i+2<n$，右孩子序号：$2i+2$，否则无右孩子.

注意：以上性质都非常重要，并且经常出现在题目当中。

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七、二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为：顺序存储 和类似于链表的 链式存储。本节介绍链式存储结构，顺序存储结构在优先级队列讲解。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有 二叉（孩子表示法）和三叉（孩子双亲表示法）表示方式：

// 孩子表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
	int val; // 数据域
	Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
	Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
	Node parent; // 当前节点的根节点
}
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八、二叉树的基本操作

前置知识：根据定义我们知道，二叉树是递归定义的，也就是说一个二叉树要么是空树，要么由一个根节点和两个子树组成，而子树本身也符合同样的定义。这种定义方式将整个二叉树的结构递归地分解为更小的二叉树结构。因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

1、二叉树的遍历

遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

（1）前中后序遍历

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果 $N$ 代表根节点， $L$ 代表根节点的左子树， $R$ 代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

• NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。
• LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。
• LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

递归遍历示意图：

先序遍历：$124356$
中序遍历：$421536$
后续遍历：$425631$

代码实现：

// 二叉树：孩子表示法
    static class BTNode {
        public BTNode left;
        public BTNode right;
        char val;

        public BTNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //先序遍历：根->左->右
    void preOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
        // 左子树
        preOrder(root.left);
        // 右子树
        preOrder(root.right);

    }

    //中序遍历：左->根->右
    void inOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 左子树
        inOrder(root.left);
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
        // 右子树
        inOrder(root.right);
    }

    //后序遍历：左->右->根
    void postOrder(BTNode root) {
        // 递归终止条件
        if (root == null) {
            return;
        }
        // 左子树
        postOrder(root.left);
        // 右子树
        postOrder(root.right);
        // 打印根
        System.out.print(root.val + " ");
    }
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（2）经典找序列

在二叉树序列这里，经常出现一类经典的笔试题目：已知中序遍历序列 和 前（后）序遍历序列，求后（前）序遍历序列？那么这类题目该如何解呢？下面我通过两道例题讲解：