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R-第七章|因子分析_各个因子影响正向和反比

作者：我家自动化 | 2024-02-16 14:25:12

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各个因子影响正向和反比

和之前一样，也是根据老师的课件和自己的理解整理的，不过为了减少不必要的时间开支，只会记录一些重要的点，其他不关心的就不记录了。

1. 因子分析理论基础

（1）因子分析和主成分分析的区别与联系

区别①：分析角度不一样。因子分析侧重于找到变量的共同点或者异常点，并且把原有的变量分类，构成新的综合变量；主成分分析只是单纯的降维。

区别②：计算方法不一样。主成分分析是先投影到第一主成分上，方差最大化，然后第二主成分垂直于第一主成分。因子分析是已经知道了样本的分布，直接计算某个平面的概率最大化。

联系：如果样本均匀分布，那么因子分析退化成主成分分析。

（2）因子分析模型

图1

因子载荷A的估计有两种，一种是主因子估计（涉及到谱分解），计算样本投影到某个轴的方差最大；另一种是极大似然估计法，知道样本分布规律的时候，可以用极大似然法，估计样本落在某个平面的概率，然后求概率的最大方差。

（3）因子载荷的意义

图2

$a_{ij}$ 表示 xj （第i个变量）依赖 Fj （第j个因子）的程度，值越大，依赖程度越大。

①共同度就是列系数加总，表示同一个变量对所有因子的累计权重，如果低就说明这一组（m个）因子对该变量的解释性不好，也可以说因子的公共性不好。

②方差贡献就是行系数加总，表示同一个因子的累计权重。

（4）因子旋转的目的

为了寻找每个主因子的实际意义，如果各个主因子的典型代表变量载荷不高，就需要进行旋转，使得因子载荷矩阵中的绝对值向0和1两个方向分化。

图3

结合上图进行理解，旋转前六个变量的三个因子的载荷比较平均，旋转后就比较明显得知Factor1包括x1和x2。

（5）因子得分

已知 $X = AF+\varepsilon$ ，用回归估计法得到 $F = (A^TA)^{-1}A^TX, Var(\varepsilon)=\sigma^2I$

（6）最后画出因子信息图

图4

可以看到，狮头股份在Factor2轴上绝对值比较大，说明F2的得分比较高，同时狮头股份和x3方向一致，说明x3变量上狮头股份比其他主体得分更高。

2. 因子分析的基本步骤

（1）确认数据是否适合作因子分析

①变量较少的时候看相关系数矩阵-如果相关系数较低，说明变量之间没有太高的相关性，就不需要因子分析了。

②变量较多的时候相关系数矩阵数据较多，如果看相关系数会比较麻烦，可以用KMO和Bartlet's检验

（2）构造因子变量

此时的旋转是为了涵盖尽可能多的信息。

（3）按照方差贡献确定因子数

一般大于80%就可以了。

（4）旋转因子使其更具有可解释性

和构造因子变量那一步的旋转不一样，这一步旋转因子是为了让结果更有解释性。相当于在上一步得到的因子基础上旋转我们的变量，让变量倾向于某个因子，让结果更有解释性。再结合一下图3和图5，其实可以知道银子旋转之后变量会更加贴近因子（理解为坐标轴）。

一般这一步用"varimax"（最大方差正交旋转法）

图5

（5）计算因子得分并做因子图

3. 代码部分


setwd(".../") #设定工作路径
ex6.6 = read.csv("ex6.6.csv",header = T)
d6.6 = ex6.6[,-1]  #第一列不要
rownames(d6.6) = ex6.6[,1]  #给行名重新命名
head(d6.6)  #预览数据
 
# 1、因子分析-KMO
# 调用路径
setwd("D:/.../")
source("KMO_function.R")  #调用老师写的函数
KMO= KMO_fun(d6.6)
KMO$overall; KMO$report #输出结果
 
# 2、确定因子数目
## 可以用碎石图，也可以先选择3个，然后查看总方差，根据80%为临界值选择数目
outa1 = factanal(d6.6,3,scores="regression",rotation="none") #不旋转
outa2 = factanal(d6.6,3,scores="regression",rotation="varimax") #旋转
## factanal函数scores="regression(线性回归计算因子得分/Bartlett)"
 
outa1$loadings #载荷
outa2$loadings
 
outa1$uniquenesses  #共同度
outa2$uniquenesses
 
 
#旋转前：因子得分画图
s1_before = outa1$scores[,1:2]
l1_before = outa1$loadings[,1:2]
biplot(s1_before,l1_before);abline(h=0,v=0,lty=3)
 
 
#旋转后：因子得分画图
s1_after = outa2$scores[,1:2]
l1_after = outa2$loadings[,1:2]
biplot(s1_after,l1_after);abline(h=0,v=0,lty=3)

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