二次规划求解器QP：算法原理与应用

1. QP求解器概述

1.1 定义与应用背景

二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是一种特殊类型的数学优化问题。它涉及到一个二次函数的最小化问题，同时受到线性等式和不等式的约束。这类问题在工程、经济学和运筹学等领域有着广泛的应用。

QP问题的标准形式可以表示为：

subject to 

其中， 是需要优化的变量向量， 是一个对称的半正定矩阵， 是一个向量， 是一个约束矩阵， 和 分别是约束的下界和上界。 矩阵的半正定性决定了目标函数的凸性，如果 是正定的，那么目标函数是严格凸的，存在唯一的全局最小值。如果 是半正定的，目标函数是凸的，可能有多个全局最小值。如果 不是半正定的，问题可能没有凸的解决方案。

1.2 常见QP求解器介绍

目前，存在多种QP求解器，它们在不同的应用场景下各有优势。以下是一些常见的QP求解器：

• OSQP：一个基于算子分裂的快速凸二次规划求解器，适用于大规模问题。
• qpOASES：一个开源的C++库，使用在线有效集策略来求解具有固定Hessian和约束矩阵的QP问题序列。
• qpSWIFT：面向嵌入式和机器人应用的轻量级稀疏二次规划求解器。
• Mosek：一个商业数学优化求解器，适用于解决二次规划、二阶锥规划和半正定规划问题。
• OOQP：一个面向对象的C++程序包，使用原对偶内点方法求解凸二次规划问题。

这些求解器通常提供了丰富的API和灵活的配置选项，以适应不同的优化问题和求解需求。

2. QP求解器工作原理

2.1 优化算法基础

2.1.1 凸优化与KKT条件

QP（二次规划）问题要求解的是一个凸优化问题，这类问题的目标函数和约束集都是凸的。凸优化问题的一个关键特性是，任何局部最优解也是全局最优解，这使得求解过程更为直接和有效。Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件是凸优化问题解的必要条件，同时也是在某些条件下的充分条件。KKT条件包括了原始问题的约束、对偶问题的约束、互补松弛性等，它们共同构成了求解凸优化问题的理论基础。

2.2 内点法与主动集法

内点法（Interior Point Method）和主动集法（Active Set Method）是求解QP问题的两种常见算法。

2.2.1 内点法

内点法是一种迭代算法，它从可行域内部的某点开始，通过迭代逐步逼近最优解。这种方法通常基于牛顿法，通过解决序列的二次规划子问题来逼近原问题。内点法的优势在于它不依赖于初始点的选择，并且能够快速收敛到最优解。

2.2.2 主动集法

主动集法是一种迭代算法，它通过选择一组活跃的约束（即在最优解处成为等式的约束）来简化问题。在每一步迭代中，算法会根据当前解的情况更新活跃集，以包含那些对当前解最敏感的约束。这种方法的优势在于它能够直接处理约束，并且在迭代过程中逐渐精确地确定哪些约束是活跃的。

2.3 梯度投影与共轭梯度法

梯度投影法（Gradient Projection Method）和共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是两种用于求解大规模QP问题的迭代算法。

2.3.1 梯度投影法

梯度投影法是一种迭代算法，它利用目标函数的梯度信息来确定下降方向，并通过投影操作将这个方向投影到可行域内。这种方法适用于处理那些可行域可以被明确描述的问题，如线性约束或球形约束。梯度投影法的优势在于它的简单性和直观性，但它可能需要较多的迭代次数才能收敛。

2.3.2 共轭梯度法

共轭梯度法是一种用于求解大规模稀疏正定线性系统的算法。在QP问题中，共轭梯度法可以应用于求解Hessian矩阵的逆或伪逆，从而加速求解过程。这种方法特别适合处理那些Hessian矩阵具有良好条件数的问题，因为它能够有效地利用矩阵的结构特性来提高计算效率。共轭梯度法的优势在于它不需要存储整个矩阵，从而减少了内存需求，并且通常比直接求解方法更快。

3. QP求解器工作流程

3.1 参数设置与初始化

在问题建模完成后，需要对求解器进行参数设置与初始化。这包括：

• 定义矩阵和向量的具体数值。
• 设置求解器的算法参数，例如容差、最大迭代次数等。
• 初始化算法所需的内部变量，如迭代点、对偶变量等。

参数设置的正确性直接影响求解效率和结果的准确性。

3.2 求解执行与结果分析

求解执行是QP求解器工作流程的核心，包括以下几个关键步骤：

1. 算法选择：根据问题特点选择合适的算法，如内点法、增广拉格朗日法等。
2. 迭代求解：执行算法迭代过程，逐步逼近最优解。
3. 收敛判断：检查当前解是否满足收敛条件，如梯度的模长是否足够小，或者是否达到最大迭代次数。
4. 结果分析：对求解结果进行分析，验证其是否满足原问题的约束条件，并评估解的稳定性和可行性。

4. C++代码案例应用

4.1 环境配置与依赖库

在C++中应用QP求解器，首先需要配置相应的开发环境以及依赖库。以OSQP为例，这是一个高效的二次规划求解器，可以与Eigen库结合使用，以方便地处理矩阵和向量运算。

• 依赖库：Eigen库用于线性代数运算，OSQP库用于求解QP问题。
• 环境搭建：使用CMake工具进行项目构建，确保Eigen和OSQP库正确链接。

# 安装Eigen库（通常作为头文件包含，无需编译）
sudo apt-get install libeigen3-dev
 
# 克隆OSQP库及其依赖项
git clone https://github.com/osqp/osqp
cd osqp
mkdir build
cd build
cmake ..
sudo make install

4.2 基础代码结构

假设我们有一辆电动车，需要从点A行驶到点B，同时希望最小化能耗和行驶时间。我们可以定义以下优化问题：

• 目标函数：最小化能耗和行驶时间的加权和。
• 变量：车辆在每个时间段的速度。
• 约束：包括速度的物理限制（如最大速度）、路径的几何限制（如转弯半径）等。

#include "OsqpEigen/OsqpEigen.h"
#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>
 
int main() {
    int nV = 10; // 假设有10个时间段
    Eigen::SparseMatrix<double> hessian(nV, nV);
    Eigen::VectorXd gradient(nV);
    Eigen::SparseMatrix<double> linearMatrix(nV, nV);
    Eigen::VectorXd lowerBound(nV), upperBound(nV);
 
    // 假设Q和c已经根据问题定义计算得到
    // 这里我们简化为单位矩阵和零向量
    hessian.setIdentity(); // 能耗与速度的平方成正比
    gradient.setZero(); // 假设没有额外的时间惩罚
 
    // 线性约束，例如最大速度限制
    linearMatrix.setIdentity();
    upperBound.setConstant(50); // 假设最大速度为50单位
    lowerBound.setConstant(-50); // 假设最小速度为-50单位（倒车）
 
    // 实例化求解器
    OsqpEigen::Solver solver;
    solver.settings()->setVerbosity(true);
    solver.settings()->setWarmStart(true);
 
    // 设置QP求解器的初始数据
    solver.data()->setNumberOfVariables(nV);
    solver.data()->setHessianMatrix(hessian);
    solver.data()->setGradient(gradient);
    solver.data()->setLinearConstraintsMatrix(linearMatrix);
    solver.data()->setUpperBound(upperBound);
    solver.data()->setLowerBound(lowerBound);
 
    // 初始化求解器
    solver.initSolver();
 
    // 求解QP问题
    Eigen::VectorXd QPSolution = solver.solve();
 
    // 输出解
    std::cout << "Optimal speeds:" << std::endl << QPSolution << std::endl;
 
    return 0;
}