基于FPGA的数字信号处理（15）--定点数的舍入模式（6）向0取整fix

前言

        在之前的文章介绍了定点数为什么需要舍入和几种常见的舍入模式。今天我们再来看看另外一种舍入模式：向上取整fix。

10进制数的fix

        fix：也叫 向0取整。它的舍入方式是数据往0的方向，舍入到最近的整数，比如1.75 fix到2，-0.25 fix到0等。以-2到1.75之间的16个数据（步长0.25）为例，它们的 fix 结果是这样的：

        从上图可以看到：

• 正数的fix，就是把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉。例如1.5 >> 1，0.5 >> 0，1 >> 1 等

• 负数的fix，也是把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉。例如-1.5 >> -1，-0.5 >> 0，-1 >> -1 等

• 0的fix，同样是直接丢掉小数部分

2进制数的fix

        2进制数的fix和10进制的fix类似，但是对于负数部分的处理是不同的。以Q4.2格式的定点数（字长4位，小数2位的有符号数）为例，对于负数的小数部分的处理：

• -2(d) = 10_00(b) fix后的值为 -2，等价于 10，即舍弃小数部分的值（10）

• -1.75(d) = 10_01(b) fix后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

• -1.5(d) = 10_10(b) fix后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

• -1.25(d) = 10_11(b) fix后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

• -1(d) = 11_00(b) fix后的值为 -1，等价于 11，即舍弃小数部分

• -0.75(d) = 11_01(b) fix后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

• -0.5(d) = 11_10(b) fix后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

• -0.25(d) = 11_11(b) fix后的值为 0，等价于 00，即舍弃小数部分的值（10）后再加1

        总结一下，就是：

• 小数部分不为0时就是把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉再加1。

• 小数部分为0时就是把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉。

        对于正数和0的处理和10进制的方式相同，都是：

直接把小数部分（或者约定精度外的部分）丢掉，例如1.25即01_01 fix的结果是1即01，0.75即00_11 fix的结果是0即00

        从上面可以看出来，fix对于正数来说相当于向下取整floor，对于负数来说相当于向上取整ceil。因此，fix的实现可以简化为：

首先舍去小数部分，然后剩余整数部分加上一个进位。当该数是为负的非整数时，进位为1；否则进位为0。

        下面以 用fix的方式来实现Q4.2格式定点数转Q2.0格式定点数为例，Verilog代码如下：

module test(
    input   [3:0]   data_4Q2,       //有符号数，符号1位，字长4位，小数2位   
    output  [1:0]   data_2Q0        //有符号数，符号1位，字长2位，小数0位   
);
​
wire    carry;
​
assign  carry = data_4Q2[3] && (|data_4Q2[1:0]);    //是负数且非整数时进位为1，其他进位为0
assign  data_2Q0 = data_4Q2[3:2] + carry;           //舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位
​
endmodule

        因为一共只有16个数，所以我们可以用穷举的方式来测试，TB如下：

`timescale 1ns/1ns
module test_tb();
​
reg  [3:0]  data_4Q2;           //有符号数，符号1位，整数2位，小数2位   
wire [1:0]  data_2Q0;           //有符号数，符号1位，整数2位，小数0位   
    
integer i;                      //循环变量
​
initial begin
    data_4Q2 = 0;               //输入赋初值 
    for(i=0;i<16;i=i+1)begin    //遍历所有的输入，共16个  
        data_4Q2 = i;                       
        #5; 
        $display("data_4Q2:%h       data_2Q0:%h",data_4Q2,data_2Q0);
    end
    #20 $stop();                //结束仿真
end
​
//例化被测试模块
test    test_inst(
    .data_4Q2   (data_4Q2), 
    .data_2Q0   (data_2Q0)
);
​
endmodule

        同时，我们也用matlab来实现同样的功能，观察两者的输出是否一致：

%--------------------------------------------------
% 关闭无关内容
clear;
close all;
clc;
​
%--------------------------------------------------
% 生成数据并做fix处理
x = -2:0.25:1.75;
F = fimath('RoundingMethod','Zero');        % 设定舍入模式为fix
data_4Q2 = fi(x,1,4,2,F);                   % 生成Q4.2格式的定点数
data_2Q0 = fi(data_4Q2,1,2,0,F);            % 从Q4.2格式转换成Q2.0格式
​
% 打印数据
for i=1:length(data_4Q2)
    fprintf('data_4Q2:%s    data_2Q0:%s\n',hex(data_4Q2(i)),hex(data_2Q0(i)))
end

        下图是2者分别输出的数据（16进制），可以看到数据的输出是一致的，证明RTL代码无误。

        这几个数的输入分别是0101/0110/0111，即10进制数1.25/1.5/1.75，它们fix结果应该是2。从上图来看，好像是matlab错了，而RTL对了，但实际情况恰恰相反。现在想想结果是什么格式的？Q2.0！它能表示的最大的数是多少？是10进制的1！所以结果溢出了！

        那为什么RTL的结果又 ”对“ 了呢？这纯属是乌龙。因为打印结果是16进制的，并不表示10进制数值，结合结果的2位位宽，可知 ”2“，实际上就是10，它是01的溢出产生的，这个数在Q2.0格式的定点数中并不表示 ”数字2“，而是数字 ”-1“。

        matlab是有溢出处理机制的（saturate），它把溢出值把都饱和在了最大值即01（10进制的1）。为了防止这种情况的发生，我们也要设计对应的溢出处理机制。因为是向上取整，所以结果只会是正向的溢出，那么就只要限定最大值即可，把Verilog代码改一下：

module test(
    input   [3:0]   data_4Q2,               //有符号数，符号1位，字长4位，小数2位   
    output  [1:0]   data_2Q0                //有符号数，符号1位，字长2位，小数0位   
);
​
wire            carry;
wire    [2:0]   data_temp;                  //扩展1bit，防止溢出
​
assign  carry = |data_4Q2[1:0];                                         //是整数时进位为0，非整数进位为1
assign  data_temp = {data_4Q2[3],data_4Q2[3:2]} + {2'b00,carry};        //中间变量，舍弃低位（即整个小数部分）后再加进位
assign  data_2Q0 = (data_temp[2:1]==2'b01) ? 2'b01 : data_temp[1:0];    //data_2Q0的高2位为01说明产生了正向的进位，即溢出
​
endmodule

        非整数的ceil，相当于先丢小数部分，然后把剩余的整数部分+1：

        定点数从Q4.2格式转Q2.0格式是一个比较特殊的例子，因为它相当于把小数部分全部舍弃掉了，如果舍入要求不是全部小数位，而是部分小数位，那么处理方式是一样的吗？

        是一样的。对于其他情况则只需要把精度要求外的小数部分舍弃即可。例如Q5.3格式的定点数转Q3.1格式，则只需要把最后两位小数舍弃即可，例如：

00.111 是0.875，fix到向0方向即向下方向距离它最近的Q3.1格式的数是0.5即00.1，即00.111 >> 00.1。操作上相当于上面说的舍弃掉多余的小数位

10.111 是-1.125，fix到向0方向即向上方向距离它最近的Q3.1格式的数是-1即11.0，即10.111 >> 10.1 + 1 >> 11.0。操作上相当于上面说的舍弃掉多余的小数位，然后加1。

        其他类似，不赘述了。