【习题详解】动态规划：线性DP_在南岸和北岸总共有n对城市,每一城市在对岸都有唯一的友好城市,任何两个城市都没

最长上升子序列LIS

问题：求一串数字的最长上升自序列
设f[i]为以第i位数字结尾的子序列的最大长度.当我们枚举i时，我们需要从左往右枚举i前面的数字j，若数字j小于数字i则说明数字i可以在以j结尾的序列之后，因此f[j]+1是一种方案数.若没有比i小的时候，则f[i]=1.故状态转移方程是：

$$f(i)=max \begin{cases} f[j]+1， \text{0＜j＜i,a[j]<a[i]} \\ f[i] \end{cases}$$
其中,f[i]的初始值为1.
故代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans=0;
int a[10000];
int f[10000];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for (int j=1;j<i;j++)
            if (a[j]<a[i])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
        ans=max(ans,f[i]);
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
} 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

---

最长公共子串LCS

这道题是由两个字符串组成，所以我们需要用二维数组去限制.
我们可以设f[i][j]为第一个字符串的长度到i，第二个字符串的长度到j的最长公共子串.显然，我们枚举i和j时.
若a[i]=b[j]，则说明这两个字母可以在最长公共子串中再添加这个字母且不会形成冲突，因此可以在原来的最长公共子串的基础上加上1，在表示当前的最长公共子串.
若a[i]!=b[j]，则说明这两个字母不能同时构成最长公共子串，则可以在选其中一个字母的基础上进行抉择.
因此我们可以得到状态转移方程: