Logistic Regression 原理及推导 python实现_logistic regression python

一、问题引入

首先，Logistic回归是一种广义的线性回归模型，主要用于解决二分类问题。比如，现在我们有N个样本点，每个样本点有两维特征x1和x2，在直角坐标系中画出这N个样本的散点图如下图所示，

蓝色和红色分别代表两类样本。现在我们的目标是，根据这N个样本所表现出的特征以及他们各自对应的标签，拟合出一条直线对两类样本进行分类，直线的上侧属于第一类，直线的下侧属于第二类。那么我们如何寻找这条直线呢？我们知道，二维空间的一条直线可以用简单的公式表示
$$y=b+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2={\theta }^{T}x+b$$
参数${\theta }^T$和$b$的选择决定了直线的位置，如果我们选取了一组参数$\theta$和$b$导致直线的位置是这样的

那肯定不合理，因为两类样本完全没有被分开，而如果我们得到了这样一条直线

两类样本虽然存在一些小错误，但是基本上被分开了，所以决定这条直线位置的参数和$\theta$ 和$b$就是我们想要的答案。由此，我们可以看到，Logistic Regression问题最终变成了求解参数$\theta$的问题。
二、原理

总的来说，Logistic回归的过程就是根据样本求解分类直线（或者超平面）的参数的过程，求解的方法是极大似然估计法，但是因为似然方程最后求导无法得到解析解，所以用了梯度下降法去逐步优化得到极值。
为什么要用极大似然估计法来求解参数呢？
首先，假设样本有k维特征， x = { x 1 , x 2 , . . . , x k } x=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{k} \right \} x={ x1​,x2​,...,xk​}, y ∈ { 0 , 1 } y\in \left \{ 0,1 \right \} y∈{ 0,1}，用极大似然估计就是在求解怎样的$\theta$ 和$b$可以使得出现了某个x时，出现对应的y的概率最大。
然后，假设这个概率服从的是Sigmoid分布（如下图所示）。样本的每一维特征的取值在经过参数$\theta$线性组合之后取值范围是实数集（-