微分方程(Differential Equation)_differential equation in normal form

30.微分方程（包含导数的方程）

微分方程对于描述现实中量的变化十分有用

30.1 可分离变量的一阶微分方程

能够把一阶微分方程中所有关于 y 的部分（包括dy）放在一边，所有关于 x 的部分（包括dx）放在另一边，则该微分方程被称为可分离变量的

例子：

30.2 一阶线性微分方程

形如以下形式的微分方程为一阶线性微分方程

30.2.1 求解方法

求解一阶线性微分方程的方法

30.2.2 积分因子

例1：

本例中 $e^{2x^3}$ 为积分因子

例2：

30.3 常系数微分方程

$n$ 阶（导数的阶数）常系数（导数前的系数）微分方程

30.3.1 一阶常系数线性方程

例如：

30.3.2 二阶常系数线性方程

例如：

30.3.3 解一阶齐次方程

齐次方程：来自百度百科

等式左侧是关于y的，等式右侧没有关于 $x$ 的部分，这样的方程称为 “齐次” 的

例子：

30.3.4 解二阶齐次方程

求解方法：根据原齐次方程写出特征二次方程，求解出根，根据所得根的个数情况，写出相应的齐次解

30.3.4.1 特征二次方程

若有两个不同实根 $\alpha$ 和 $\beta$，解为：
$$y=A{e}^{\alpha x}+B{e}^{\beta x}$$

证明：
直接将 $y=e^{\alpha x}$ 代入方程，检验是否使得方程为0，如果满足则为该方程的根，其他类似

例子：

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若只有一个（双重）实根 $\alpha$，解为：
$$y=A{e}^{\alpha x}+Bx{e}^{\alpha x}$$
证明：
直接将 $y=x{e}^{\alpha x}$ 代入方程，检验是否使得方程为0，如果满足则为该方程的根

例子：

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若有两个复根，它们将是共轭的，即其形为 $\alpha \pm i\beta$，解为：
$$y=e^{\alpha x}(Acos(\beta x)+Bsin(\beta x))$$

例子：

30.3.5 非齐次方程和特解

等式左侧是关于y的，等式右侧含有关于 $x$ 的部分，这样的方程称为 “非齐次” 的

求解方法：

例子：

30.3.6 求特解

一阶非齐次方程 $y^{\prime }+ay=f(x)$
二阶非齐次方程 $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$

根据等式右侧$f(x)$的形式，直接写出特解 $y_p$ 的形式，后求出 $y_p^{\prime }、y_p^{\prime \prime }$，将这三个代入原非齐次方程，观察是否等于 $f(x)$，如果不满足，原因可能是特解和齐次解冲突，解决办法下面给出

例子：

30.3.7 解决特解 $y_p$ 和 齐次解 $y_H$ 间的冲突

这里冲突的意思是：齐次解 $y_H$ 中已经包含了特解 $y_p$
解决：令特解 $y_p$ 乘以 $x$ 或 $x^2$

例子：

30.3.8 IVP（初值问题）

例子：

每当我们为一个微分方程 $y^{\prime }=ƒ(x,y)$ 的解指定一个初始条件 $y(x0)=y0$时，要求解曲线(解的图像)通过点 $(x0,y0)$，其斜率为 $ƒ(x0,y0)$
我们可以通过绘制斜率 $ƒ(x,y)$ 在构成ƒ域的木平面区域内选定点 $(x,y)$ 的短线段来绘制这些斜率。每一段的斜率与解曲线的斜率相同，所以它与曲线相切。我们将这种图叫作“斜率场”
我们可以看到这些线段如何表示解曲线在每一点经过的方向。

例1：

例2：

欧拉方法