C语言经典算法之并查集_c语言并查集

目录

前言

A.建议

B.简介

一 代码实现

二 时空复杂度

A.查找操作（Find）：

B.合并操作（Union）：

三 优缺点

A.优点：

B.缺点：

C.总结：

四 现实中的应用

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前言

A.建议

1.学习算法最重要的是理解算法的每一步，而不是记住算法。

2.建议读者学习算法的时候，自己手动一步一步地运行算法。

tips：文中的（如果有）对数，则均以2为底数

B.简介

并查集（Disjoint Set Union，简称并查集，也叫不相交集合）是一种用来管理分组的数据结构。它主要支持两种操作：查找（Find）和合并（Union）。并查集通常用于处理元素的分组问题，比如连通性的问题，网络连接状态的问题等。

一 代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
// 定义并查集结构体
typedef struct {
    int *parent;  // 父节点数组
    int *rank;    // 秩（用于优化合并操作）
    int size;     // 并查集的大小
} DisjointSet;
 
// 初始化并查集
void initDisjointSet(DisjointSet *set, int size) {
    set->size = size;
    set->parent = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
    set->rank = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
 
    // 初始化每个元素的父节点为自身，秩为0
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        set->parent[i] = i;
        set->rank[i] = 0;
    }
}
 
// 查找操作（找到元素所在的集合的代表元素）
int find(DisjointSet *set, int x) {
    if (set->parent[x] != x) {
        // 路径压缩：将节点的父节点直接设为根节点，减小查找路径长度
        set->parent[x] = find(set, set->parent[x]);
    }
    return set->parent[x];
}
 
// 合并操作
void unionSets(DisjointSet *set, int x, int y) {
    int rootX = find(set, x);
    int rootY = find(set, y);
 
    // 按秩合并：将秩较小的集合合并到秩较大的集合上
    if (rootX != rootY) {
        if (set->rank[rootX] < set->rank[rootY]) {
            set->parent[rootX] = rootY;
        } else if (set->rank[rootX] > set->rank[rootY]) {
            set->parent[rootY] = rootX;
        } else {
            set->parent[rootY] = rootX;
            set->rank[rootX]++;
        }
    }
}
 
// 释放并查集占用的内存
void freeDisjointSet(DisjointSet *set) {
    free(set->parent);
    free(set->rank);
}
 
int main() {
    // 示例用法
    int size = 10; // 假设有10个元素
    DisjointSet set;
    initDisjointSet(&set, size);
 
    // 进行一些合并操作
    unionSets(&set, 0, 1);
    unionSets(&set, 2, 3);
    unionSets(&set, 4, 5);
    unionSets(&set, 6, 7);
    unionSets(&set, 1, 2);
    unionSets(&set, 5, 6);
    unionSets(&set, 3, 7);
 
    // 查找操作
    printf("Element 0 is in set with representative: %d\n", find(&set, 0));
    printf("Element 4 is in set with representative: %d\n", find(&set, 4));
 
    // 释放内存
    freeDisjointSet(&set);
 
    return 0;
}

这是一个简单的并查集的实现，你可以根据实际需要进行扩展和优化。并查集的主要思想是通过合并集合的操作，将元素划分到不同的集合中，同时通过查找操作找到元素所在的集合。这种数据结构在解决一些图论和连通性的问题中非常有用。

二 时空复杂度

并查集的主要操作是查找（Find）和合并（Union）。下面是对这两个操作的时空复杂度分析：

A.查找操作（Find）：

时间复杂度： Amortized O(α(n))，其中 α(n) 是 Ackermann 函数的反函数，增长非常缓慢，可以近似看作是常数时间。在实际应用中，查找操作几乎可以看作是常数时间。

空间复杂度： O(n)，其中 n 是并查集的大小。这是由于需要存储每个元素的父节点。

B.合并操作（Union）：

时间复杂度： Amortized O(α(n))，其中 α(n) 是 Ackermann 函数的反函数，增长非常缓慢，可以近似看作是常数时间。合并操作的复杂度主要由查找操作决定。

空间复杂度： O(n)，同样是由于需要存储每个元素的父节点。

三 优缺点

A.优点：

高效的合并操作： 并查集的合并操作具有较好的平均时间复杂度。通过使用路径压缩和秩优化等技术，可以保持较低的合并代价。

高效的查找操作： 并查集的查找操作（Find）在实际应用中通常是近似常数时间，尤其是在使用路径压缩的情况下。

简单直观： 并查集的实现相对简单，易于理解和实现。这使得它成为解决一些连通性问题的常用选择。

空间效率： 并查集在空间上的占用主要是存储每个元素的父节点和秩等信息，相对来说是比较节省空间的。

B.缺点：

不适用于所有问题： 并查集主要用于处理集合的合并和查找操作，但并不适用于所有类型的问题。对于其他类型的问题，可能有更适合的数据结构。

无法回溯修改历史操作： 一旦执行了合并操作，就很难回溯修改历史的操作。这使得并查集在一些需要撤销或修改历史状态的场景中不够灵活。

可能存在树不平衡的问题： 尽管使用了路径压缩和秩优化等策略，但在实际操作中，仍可能导致并查集中树的不平衡，使得部分操作的代价较高。

C.总结：

总体来说，并查集在处理特定类型的问题时非常高效，但在某些场景下可能不如其他数据结构适用。在选择数据结构时，需要根据具体问题的特点和要求进行权衡。

四 现实中的应用

图论中的连通性问题： 并查集常被用于解决图的连通性问题，如判断图中是否存在环，或者确定两个节点是否连通。在网络设计、社交网络分析等领域，这种连通性问题经常需要解决。

图像分割： 在计算机视觉中，图像分割是一个重要的问题。并查集可以用于将图像中的像素分组，形成一些区域，使得同一区域内的像素属于同一集合。

操作系统中的文件系统管理： 文件系统中的文件和目录之间存在关系，而这些关系可以使用并查集来管理。当文件或目录被移动或删除时，使用并查集可以有效地更新这些关系。

网络连接状态的管理： 在网络通信中，可以使用并查集来管理设备之间的连接状态。这对于网络设计和维护具有实际意义，例如在通信网络中检测环路。

最小生成树算法： 在图论中，最小生成树算法（如Kruskal算法）通常使用并查集来判断边的两个端点是否在同一连通分量中，以避免形成环路。

社交网络中的关系管理： 在社交网络中，人与人之间的关系可以使用并查集来管理。当两个人建立关系（如好友关系）时，可以将它们合并到同一个集合中。

数据库查询优化： 在数据库中，关联查询可以通过并查集来优化。通过维护表之间的关系，可以更高效地执行一些查询操作。