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转置卷积(反卷积)--深度理解_转置卷积计算公式

作者：正经夜光杯 | 2024-07-27 02:47:41

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转置卷积计算公式

1.引子

通常，对图像进行多次卷积运算后，特征图的尺寸会不断缩小。不论是语义分割、检测还是三维重建等模型，都需要将提取到的高层特征进行放大，此时就需要对feature map进行上采样（由特征点热图得到预测图）。

转置卷积在语义分割或者对抗神经网络（GAN）中比较常见，其主要作用就是做上采样（UpSampling）。经常被称反卷积，逆卷积。但在主流的深度学习框架之中，如Tensorflow，Pytorch,Kreas中的函数名都是conv_transpose，都是表示转置卷积。因为本质上说，转置卷积并不是卷积操作的逆运算。

所以我们一定要记住其正确的名称--转置卷积。

2.普通卷积

首先来回顾下普通的卷积操作吧。

普通的卷积操作可以说是很简单，就是卷积核大小的窗口在原始输入图像的一步步挪动，通过加权计算得到结果。

下图以stride=1，padding=1，kernel_size=3为例，假设输入特征图大小是4x4的（假设输入输出都是单通道），通过卷积后得到的特征图大小为2x2。一般使用卷积的情况中，要么特征图变小（stride > 1），要么保持不变（stride = 1），

当然也可以通过四周padding让特征图变大但没有意义。下图对padding进行扩充就可以让输入输出特征图大小相同。

但是实际在计算机中计算的时候，并不是像这样一个位置一个位置的进行滑动计算，因为这样的效率太低了。计算机会将卷积核转换成等效的矩阵，将输入转换为向量。通过输入向量和卷积核矩阵的相乘获得输出向量。输出的向量经过整形便可得到我们的二维输出特征。

具体转化过程可以示例如下。

对于一个输入大小为 $3*3$ 的图像，卷积核大小为 $2*2$

计算机在操作时会将卷积核表示为稀疏矩阵。

那具体是如何表示为稀疏矩阵的呢，可以想象在输入矩阵中每次移动的卷积核大小的小窗口，将其周围都填充为0后，再将其转变为一个行向量。

将所有的窗口进行操作后就可以变成稀疏矩阵。

将输入 $X$ 展开为列向量：

则卷积操作可以表示为

3.转置卷积

3.1与普通卷积的不同

以认为标准卷积操作实际上就是建立了一个 多对一的映射关系。

转置卷积而言，我们实际上是想建立一个逆向操作，即 一对多的映射关系。这样才可以实现图像的放大，从而完成上采样。那这里你可能要问了，不是说不是逆操作吗，你是不是骗人？

我当然没有，因为从信息论的角度看,卷积是不可逆的.所以这里说的并不是从output矩阵和kernel矩阵计算出原始的input矩阵.而是计算出一个保持了位置性关系的矩阵.简单来说，对于同一个卷积核，经过转置卷积操作之后并不能恢复到原始的数值，保留的只有原始的形状。

3.2转置卷积具体运算操作

3.2.1stride=1的情况：

如上面普通卷积的运算过程所示。

所谓转置卷积就是将 $y=Cx$ 中的输入输出互换：

即由原来的 $4*1$ 的输入 $y$ ，经过转置卷积可以得到 $9*1$ 的列向量 $x$ ，此时的 $x,y$ 数值上已经和原来不同，只是在形状上一致。ze

考虑上文的二维卷积的矩阵 $C$ ：

令转置卷积输入 $y$ 为 $\begin{bmatrix} y_{11} &y_{12} \\ y_{21}&y_{22} \end{bmatrix}$ ,对应向量 ${y}'=\begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} &y_{21} & y_{22} \end{bmatrix}$

（注意这里的输入y与普通卷积的输出y没有关系，这里是转置卷积的独立操作，也就是通过同样的输入和卷积核来得到输出形状变大的结果）

则转置卷积结果为

这等价于输入padding = 1的输入

和水平和竖直方向镜像翻转的卷积核

之间进行普通卷积的结果。

可以用一个动图更形象的表示，（此处动图与上面所举例子不同，但可以做个参考）

从中可以看出直接卷积我们是用一个“小窗户”去看一个“大世界”，而转置卷积是用一个“大窗户”的一部分去看“小世界”。

3.2.1stride>1的情况：

对于输入为 $5*5$ 的图像，卷积核大小为 $3*3$ ，stride-2，padding=0，普通卷积卷积后输出大小为 $2*2$ 的矩阵。

设卷积核为

设输入 ${y}'=\begin{bmatrix} y_{1}&y_{2} &y_{3} & y_{4} \end{bmatrix}^{T}$ 则转置卷积结果为

同样等价于输入添加空洞，额外padding，卷积核水平竖直翻转的普通卷积：

对应的图像如下 $\blacksquare$

3.3转置卷积公式计算归纳

设步长stride为s，填充padding=1，卷积核大小kernal_size=k

转置卷积的运算步骤可以归为以下几步：

$\blacksquare$          在输入特征图元素间填充s-1行、列0
$\blacksquare$          在输入特征图四周填充k-p-1行、列0
$\blacksquare$         将卷积核参数上下、左右翻转
$\blacksquare$         做正常卷积运算（填充0，步距1）

转置卷积操作后特征图的大小可以通过如下公式计算：

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