红黑树 | 平衡二叉树 | B+树 | B树_b树中所有结点的平衡因子都为1

漫画：什么是红黑树？ - 知乎———————————— ———————————— 二叉查找树（BST）具备什么特性呢？ 1. 左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。2. 右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。3.左、右子树…https://zhuanlan.zhihu.com/p/31805309

二叉查找树：

1.左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。

2.右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。

3.左、右子树也分别为二叉排序树。

二分查找的思想，查找所需的最大次数等同于二叉查找树的高度。

缺点：二叉查找树多次插入新节点导致不平衡。

 

 

红黑树：

是自平衡的二叉查找树，除了符合二叉查找树的基本特性外，还有以下特性：

1.节点是红色或黑色。

2.根节点是黑色。

3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。

4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍。

 怎么保证一棵红黑树始终是红黑树？变色和旋转，旋转分为左旋转和右旋转。

变色：

为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变为黑色，或者把黑色节点变为红色。

左旋转：

逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

 右旋转

逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

 

 平衡二叉树（AVL树）：

遵循高度平衡，任何结点的两个子树高度差都不超过1。

在AVL树当中，我们通过“平衡因子”来判断一颗二叉树是否符合高度平衡。

对于AVL树的每一个结点，平衡因子是它的左子树高度和右子树高度的差值。只有当二叉树所有结点的平衡因子都是-1, 0, 1这三个值的时候，这颗二叉树才是一颗合格的AVL树。

下图就是一颗典型的AVL树，每个节点旁边都标注了平衡因子：

 

其中结点4的左子树高度是1，右子树不存在，所以该结点的平衡因子是1-0=1。

结点7的左子树不存在，右子树高度是1，所以平衡因子是0-1=-1。

所有的叶子结点，不存在左右子树，所以平衡因子都是0。

当AVL树插入或者删除节点的时候，平衡可能被打破。

 重新恢复AVL的平衡： 左旋转和右旋转

左旋转：

逆时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。说起来有些绕，见下图（标号1,2,3的三角形，是结点X和Y的子树）：

 

右旋转：

顺时针旋转AVL树的两个结点X和Y，使得父结点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。见下图：

 

B-树（就是B树，-不是减号，不可以读B减树）

漫画：什么是B-树？ - 知乎

为什么MySQL索引用B+树？不用二叉查找树？

考虑磁盘IO。数据库索引是存储在磁盘上的，当数据量比较大的时候，索引的大小可能有几个G甚至更多。当我们利用索引查询的时候，不可能把整个索引都加载到内存，能做的只有逐个加载每个磁盘页，这里的磁盘页对应着索引树的节点。

最坏情况下，磁盘IO次数等于索引树的高度。 

为了减少磁盘IO次数，就要把原来“瘦高”的树变得“矮胖”。这就是B-树的特征之一。

B树是一种多路平衡查找树，它的每一个节点最多包含k个孩子，k被称为B树的阶。k的大小取决于磁盘页的大小。

一个m阶的B树具有如下几个特征：

1.根结点至少有两个子女。

2.每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m

3.每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m

4.所有的叶子结点都位于同一层。

5.每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

B-树主要用于文件系统及部分数据库索引，比如著名的非关系型数据库MongoDB。

大部分关系型数据库，比如MySQL，使用B+树作为索引。

B+树

漫画：什么是B+树？ - 知乎

一个m阶的B+树具有如下几个特征：

1.有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

3.所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

每一个父节点的元素都出现在子节点中，是子节点的最大或者最小元素。

根节点的最大元素等同于整个B+树的最大元素。

每一个叶子节点都带有指向下一个节点的指针，形成了一个有序链表。

 卫星数据：指的是索引元素所指向的数据记录，比如数据库中的某一行。

在B-树中，无论是中间节点还是叶子节点都带有卫星数据。

B-树中的卫星数据（Satellite Information）：

在B+树中，只有叶子节点带有卫星数据，其余中间节点仅仅是索引，没有任何数据关联。

B+树中的卫星数据（Satellite Information）：

 

在数据库的聚集索引（Clustered Index）中，叶子节点直接包含卫星数据。在非聚集索引（NonClustered Index）中，叶子节点带有指向卫星数据的指针。

B+树的中间节点没有卫星数据，所以同样大小的磁盘页可以容纳更多的节点元素。这就意味着，数据量相同的情况下，B+树的结构比B-树更加矮胖。因此查询时磁盘IO次数更少。

B+树的查询必须最终查找到叶子节点，而B-树只要找到匹配元素即可，无论匹配元素处于中间节点还是叶子节点。因此B-树的查找性能并不稳定，最好情况是只查根节点，最坏情况是查到叶子节点。而B+树的每次查找都是稳定的。

综合起来，B+树相比于B-树的优势：

1. IO次数更少 2. 查询性能稳定 3. 范围查询简便。