动态规划 DP （一）_动态规划(dp)

1.动态规划（Dynamic Programming，简称DP）

维基百科的定义说的很清楚：

 

2.一维动态规划

1）力扣https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/

这道题思路很清楚，每次只能爬一个或两个台阶，所有当站在第10个台阶时，要么从第8个台阶走两步上来，要么从第9个台阶走一步上来。

所以这是一个有最优子结构的问题，局部最优解可以决定全局最优解。只要走每一步时，都算清楚走法，那么到了最后一步，得到的就是正确的走法。

转移方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)  n>2

                  f(1) = 1  f(2) = 2

写代码的时候可以用vector存储每一步的走法，但考虑到节省空间，也可以只记录最近两步的走法，因为每次计算，只涉及前两步。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<3) return n;
        int a = 1, b = 2,c;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
};

2）

力扣https://leetcode.cn/problems/house-robber/当决定偷第3个房间时，就不能偷第2个房间了，只能偷第1个房间。

当决定不偷第3个房间时，那就可以偷第1个房间和第2个房间中金额更高的房间。

偷不偷第3个房间，则取决于上面两种情况哪种获得的总金额更高。

所以转移方程为： dp[i] = max(dp[i-2]+nums[i], dp[i-1])

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n==0) return 0;
        if(n<2) return nums[0];
        int a = 0, b = 0, c;
 
        for(int i=0;i<n;i++){
            c = max(b,a+nums[i]);
            a = b;
            b = c;
        }
 
        return c;
    }
};

 

3）力扣https://leetcode.cn/problems/arithmetic-slices/这道题要注意审题，子数组说的是连续序列，所以依次遍历每个元素，判断是否满足：

(nums[i]-nums[i-1]) == (nums[i-1]-nums[i-2])

比如：

nums = [1,2,3,4]

因为题目要求至少三个元素，所以从第三个元素开始判断，很明显(3-2)==(2-1)，

所以[1,2,3]为一个等差数列。

接着遍历到第四个元素，也满足等式(4-3)==(3-2)，这时候新增了两个等差序列，

一个是[2,3,4]，另一个是前一个等差数列的延续[1,2,3,4]。

所以当遍历到一个元素满足(nums[i]-nums[i-1]) == (nums[i-1]-nums[i-2])这个条件时，

 [ nums[i-2], nums[i-1], nums[i] ]构成一个新的等差数列，

接着再在nums[i-1]结尾的等差数列后加上nums[i],得到了新的dp[i-1]个等差数列。

所以转移方程为：

dp[i] = dp[i-1] + 1 当(nums[i]-nums[i-1]) == (nums[i-1]-nums[i-2])时

dp数组求和，得到的就是等差数列的数量

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n<3) return 0;
        int res = 0;
        vector<int> dp(n,0);
        for(int i=2;i<n;i++){
            if((nums[i]-nums[i-1])==(nums[i-1]-nums[i-2])){
                dp[i] = dp[i-1] + 1;
                res += dp[i];
            }
        }
        return res;
    }
};