imu运动学公式

### 运动学公式

运动学研究的是物体本身的运动，不考虑导致运动的原因。研究物体的运动涉及到三种坐标系：

1. 描述载体的运动，即载体坐标系-- $$\alpha$$

   载体坐标系一般的是IMU坐标系或者以载体质心形成的坐标系。载体坐标系与载体固联，将载体看成刚体，载体坐标系的运动就是刚体的运动。

2. 运动所参照的坐标系，即参考坐标系--- $$\beta$$

   参考坐标系可能是上一时刻的运动状态，也可以是绝对的东北天或者惯性坐标系。

3. 用于表现运动的坐标轴组成的坐标系，即投影坐标系--- $$\gamma$$

   刚体相对于参考坐标系的运动本身就是一个矢量，这个矢量可以在投影坐标系里分解描述；投影坐标系可以是载体坐标系，也可以是参考坐标系，也可以是第三方坐标系。无论怎么描述，矢量的幅度是不变的。

基础公式关系：
$$\omega_{\beta\alpha}^\gamma=\omega_{\beta\delta}^\gamma+\omega_{\delta\alpha}^\gamma$$

$$\omega_{\beta\alpha}^\gamma=C_\gamma^\delta\omega_{\beta\alpha}^\gamma$$

上述公式表示的角速度矢量，如果将角速度矢量用斜对称矩阵 $$\Omega_{\beta\alpha}^\gamma$$ 表示，用到矩阵的相似变换公式：
$$\Omega_{\beta\alpha}^\delta=C_\gamma^\delta\Omega_{\beta\alpha}^\gamma C_\delta^\gamma$$
方向余弦阵的微分公式：
$$\dot{C_\beta^\alpha}  =  -\Omega_{\beta\alpha}^\alpha C_\beta^\alpha \\  = -C_\beta^\alpha\Omega_{\beta\alpha}^\beta\\ = \Omega_{\alpha\beta}^\alpha C_\beta^\alpha \\  = C_\beta^\alpha\Omega_{\alpha\beta}^\beta$$
速度表示的是载体坐标系原点的位置相对于参考坐标系原点和坐标轴的变化率。

$$\alpha$$ 坐标系相对于 $$\beta$$ 坐标系的加速度在 $$\gamma$$ 坐标系中的投影为：
$$a_{\beta\alpha}^\gamma=C_\beta^\gamma \ddot{r}_{\beta\alpha}^\beta$$
由于投影坐标系$\gamma$相对于参考坐标系 $$\beta$$ 可能存在转动，加速度并不简单的等同于 $$v_{\beta\alpha}^\gamma$$ 的时间导数或者位置 $$r_{\beta\alpha}^\gamma$$ 二次时间导数。
$$\dot{v}_{\beta\alpha}^\gamma=\dot{C}_\beta^\gamma \dot{r}_{\beta\alpha}^\beta+a_{\beta\alpha}^\gamma$$

$$\ddot{r}_{\beta\alpha}^\gamma=\ddot{C}_\beta^\gamma r_{\beta\alpha}^\beta+\dot{C}_\beta^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\beta+\dot{v}_{\beta\alpha}^\gamma\\=\ddot{C}_\beta^\gamma r_{\beta\alpha}^\beta+2\dot{C}_\beta^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\beta+a_{\beta\alpha}^\gamma$$

$$\ddot{C}_\beta^\gamma r_{\beta\alpha}^\beta=(\Omega_{\beta\gamma}^\gamma\Omega_{\beta\gamma}^\gamma-\dot{\Omega}_{\beta\gamma}^\gamma)r_{\beta\alpha}^\gamma$$

$$\dot{C}_\beta^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\beta=-\Omega_{\beta\gamma}^\gamma C_\beta^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\beta\\=\Omega_{\beta\gamma}^\gamma(\dot{C}_\beta^\alpha r_{\beta\alpha}^\beta-\dot{r}_{\beta\alpha}^\gamma)\\=-\Omega_{\beta\gamma}^\gamma\Omega_{\beta\gamma}^\gamma r_{\beta\alpha}^\gamma-\Omega_{\beta\gamma}^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\gamma$$

推出最后的公式：
$$\ddot{r}_{\beta\alpha}^\gamma=-\Omega_{\beta\gamma}^\gamma\Omega_{\beta\gamma}^\gamma r_{\beta\alpha}^\gamma-2\Omega_{\beta\gamma}^\gamma\dot{r}_{\beta\alpha}^\gamma-\dot{\Omega}_{\beta\gamma}^\gamma r_{\beta\alpha}^\gamma+a_{\beta\alpha}^\gamma$$
等号右边的前三项分别为离心力、哥氏力和欧拉虚力（当参考坐标系相对于惯性坐标系存在角加速度的时候产生的力）

比力是相对于惯性坐标系中除了引力以外的其他力，因此：
$$f_{ib}^\gamma=a_{ib}^\gamma-\gamma_{ib}^\gamma$$
上述就是在惯性坐标系下的加速度关系式。