无穷大与无穷小【高数笔记】

【定义】

当x-->?, f(x)无限趋向于0，则称f(x) 为x-->?的无穷小；当x-->?, f(x)无限趋向于无穷，则称f(x) 为x-->?的无穷大

【要点】

 ？表示x趋向于x0，或是无穷；无穷大或小，针对的是f(x)，而极限针对的是常数A；对于无穷而言，并不是讲极限不存在，则f(x)一定是x-->?的无穷大，即，极限不存在，包含了无穷大这种情况，但是两者并不等价

【举例】

1，X--> 无穷，1/x 的极限

当x-->正无穷，无限接近于0

当x-->负无穷，无限接近于0

所以，X-->无穷，1/x的极限是0

既，1/x是X-->无穷时的无穷小，且极限存在

 

2，X--> 0, 1/X的极限

当接近X--> 0+，1/x无限接近正无穷

当接近X--> 0-，1/x无限接近负无穷

所以，X-->0，1/x极限不存在

又因为，1/x无限接近正负无穷

既，X--> 0，1/x极限不存在，但1/x是X-->0时的无穷大

 

3，x-->0，arctan（1/x）的极限

由题可知，此函数是一个复合函数，分两大步，由内而外

第一步:当X-->0+，极限无限接近于正无穷；当X--> 0-，极限无限接近于负无穷

第二步:令t=1/x，当t接近于正无穷，arctan（t）极限接近于π/2，当t接近于负无穷，arctan（t）极限无限接近于-π/2

又因为，不满足无穷大的条件

既，X-->0，arctan（1/x）极限不存在

 

4，x-->0，e的(x分之1)次方的极限

由题可知，此函数是一个复合函数，分两大步，由内而外

第一步:当X-->0+，1/x极限无限接近于正无穷；当X-->0-，1/x极限无限接近于负无穷

第二步:令t=1/x，当t接近于正无穷，e的t次方的极限接近于正无穷，当t接近于负无穷，e的t次方的极限无限接近于  0

又因为，不满足无穷大的条件

既，X-->0，e的(x分之1)次方的极限不存在