信号与系统笔记-基础信号_离散信号功率计算

一、连续与离散信号

1.连续信号表示：x(t)

离散信号表示：x[n]，仅表示整数

注：看上去就是函数表示，如$x=x(t),\varphi =\varphi (t)$

2.信号的能量（Energy）和功率（Power）
E = ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t , E = ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 P = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 ∣ x ( t ) ∣ 2 d t ,   P = 1 n 2 − n 1 + 1 ∑ n = n 1 n 2 ∣ x [ n ] ∣ 2 E ∞ = lim ⁡ T → ∞ ∫ − T T ∣ x ( t ) ∣ 2 , E ∞ = lim ⁡ N → ∞ 1 2 N + 1 ∑ n = − N N ∣ x [ n ] ∣ 2 P ∞ = lim ⁡ T → ∞ E ∞ 2 T , P ∞ = lim ⁡ N → ∞ E ∞ 2 N + 1

$$\begin{aligned} &E = \int^{t_2}_{t_1}|x(t)|^2dt, \qquad E = \sum^{n_2}_{n = n_1}|x[n]|^2\\ &P = \frac{1}{t_2 - t_1}\int^{t_2}_{t_1}|x(t)|^2dt, \: P = \frac{1}{n_2 - n_1 + 1}\sum^{n_2}_{n = n_1}|x[n]|^2\\ &E_\infty = \lim_{T \rightarrow \infty} \int^T_{-T}|x(t)|^2, \quad E_{\infty} = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum^{N}_{n = -N}|x[n]|^2\\ &P_{\infty} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{E_{\infty}}{2T}, \qquad P_\infty = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{E_\infty}{2N + 1} \end{aligned}$$ ​E=∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt,E=n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2P=t2​−t1​1​∫t1​t2​​∣x(t)∣2dt,P=n2​−n1​+11​n=n1​∑n2​​∣x[n]∣2E∞​=T→∞lim​∫−TT​∣x(t)∣2,E∞​=N→∞lim​2N+11​n=−N∑N​∣x[n]∣2P∞​=T→∞lim​2TE∞​​,P∞​=N→∞lim​2N+1E∞​​​
3.分类

（1）$E_{\infty }<\infty$（不为无穷大 7），$P_{\infty }<\infty$. 例$x(t)=1,t\in [0,1]$

（2）$E_{\infty }=\infty ,P_{\infty }<\infty$，例$x[t]=4$

（3）$E_{\infty }=\infty ,P_{\infty }=\infty$，例$x(t)=t$

补充内容：信号的传递形式（声、电、光）；信号用于传递信息

二、独立变量变换

1.信号变换：

$x(t)\to x(\alpha t+\beta )$：先变化$\beta$，再变化$\alpha$

2.周期函数

3.奇偶函数（性质）：任意定义域对称的函数可写为其函数+偶函数
x ( t ) = E v { x ( t ) } + O d { x ( t ) } E v { x ( t ) } = 1 2 [ x ( t ) + x ( − t ) ] O d { x ( t ) } = 1 2 [ x ( t ) − x ( − t ) ] x(t) = Ev\{x(t)\} + Od\{x(t)\}\\ Ev\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) + x(-t)]\\ Od\{x(t)\} = \frac{1}{2}[x(t) - x(-t)] x(t)=Ev{x(t)}+Od{x(t)}Ev{x(t)}=21​[x(t)+x(−t)]Od{x(t)}=21​[x(t)−x(−t)]

三、数学补充：复数

1.代数形式Cartesian form：z = x + yj

实部Re{z} = x，虚部Im{z} = y

2.指数形式polar form：$z=r{e}^{j\theta }$

类似极坐标表示形式，在复数坐标系中|z| = r，$\theta$为复数与实轴的夹角

3.欧拉公式：$e^{j\theta }=cos\theta +jsin\theta$

四、指数和三角函数的信号

1.复数指数信号：$x(t)=C{e}^{at}$

2.指数信号与三角函数

$e^{j{w}_{0}t}$的周期为$\frac{2\pi }{w_0}=T$（由$e^{j{w}_{0}t}=cos{w}_0+jsin(w_{0}t)$得出）

A c o s ( w 0 t + ϕ ) = A ⋅ R e { e j ( w 0 t + ϕ ) } Acos(w_0 t+\phi) = A \cdot Re\{e^{j(w_0t + \phi)}\} Acos(w0​t+ϕ)=A⋅Re{ej(w0​t+ϕ)}

A s i n ( w 0 t + ϕ ) = A ⋅ I m { e j ( w 0 t + ϕ ) } Asin(w_0t + \phi) = A\cdot Im\{e^{j(w_0t + \phi)}\} Asin(w0​t+ϕ)=A⋅Im{ej(w0​t+ϕ)}

特点$E_{\infty }=\infty$（能量无穷）$P_{\infty }<\infty$ （功率有限）
E p e r i o d = ∫ 0 T 0 ∣ e j w 0 t ∣ 2 d t = ∫ 0 T 0 1 d t = T 0 P ∞ = 1

$$\begin{aligned} &E_{period} = \int^{T_0}_{0}|e^{jw_0t}|^2 dt = \int^{T_0}_0 1 dt = T_0\\ &P_\infty = 1 \end{aligned}$$ ​Eperiod​=∫0T0​​∣ejw0​t∣2dt=∫0T0​​1dt=T0​P∞​=1​
频率相同的函数集：${\varphi }_k(t)e^{jk{w}_{0}t},k\in Z$

3.普遍形式：$x(t)=C{e}^{at}$

$C=|C|e^{j\theta },a=r+j{w}_0$

化简为$x(t)=|C|e^{rt}cos(w_{0}t+\theta )+j|C|e^{rt}sin(w_{0}t+\theta )$

4.离散的复数指数函数

$x[n]=C{\alpha }^n,x[n]=C{e}^{\beta n}$

设$\alpha =|\alpha |e^{j{w}_0},C=|C|e^{j\theta }$，则化简为一般形式如下

$C{\alpha }^n=|C||\alpha {|}^{n}cos(w_{0}n+\theta )+j|C||\alpha {|}^{n}sin(w_{0}n+\theta )$

对于$|\alpha |<1$，图形如下

对于$|\alpha |>1$，图形如下

5.$e^{j{w}_{0}n}$的性质

（1）连续信号的$w_0$越大，则频率越高，而离散信号不同

因为$e^{j(w_0+w\pi )n}=e^{j{w}_{0}n}{e}^{j2\pi n}=e^{j{w}_{0}n}$，频率不变

（2）连续信号对$\forall w_0$都为周期函数，离散信号不同

考虑$e^{j{w}_0(n+N)}=e^{j{w}_{0}n}{w}^{j{w}_{0}N}$，当为周期函数时，要求$N{w}_0=2\pi m\Rightarrow N=m\frac{2\pi }{w_0}$

只有当$\frac{2\pi }{w_0}$时有理数时才为周期函数

找到最小周期$N=m\frac{2\pi }{w_0}$，基础频率为$\frac{2\pi }{N}$

注：实际上就是w内要有$\pi$，而且剩余部分为分数，这样n不断增加时才有可能形成$2\pi$的整数倍

四、单位脉冲和单位越阶函数

1.单位脉冲：

δ [ n ] = { 0 , n ≠ 0 1 , n = 0 \delta[n] =

$$\begin{cases} 0, \quad n \neq 0\\ 1, \quad n = 0 \end{cases}$$ δ[n]={0,n​=01,n=0​图像如下

单位越阶函数：

u [ n ] = { 0 , n < 0 1 , n ≥ 0 u[n] =

$$\begin{cases} 0, \quad n < 0\\ 1, \quad n \geq 0\end{cases}$$ u[n]={0,n<01,n≥0​，图像如下

2.关系

$$\begin{gathered} \delta [n]=u[n]-u[n-1] \\ u[n]=\sum _{m=-\infty }^n\delta [m] \\ u[n]=\sum _{k=0}^{\infty }\delta [n-k] \end{gathered}$$

作用：单位脉冲乘上其它信号可以对其它信号进行取样

例如：$x[n]\delta [n-n_0]=x[n_0]\delta [n-n_0]$，就相当于对$n_0$这一点进行取样

3.连续单位越阶函数

u ( t ) = { 0 , t < 0 0 , t > 0 u(t) =

$$\begin{cases}0, \quad t<0\\ 0, \quad t>0 \end{cases}$$ u(t)={0,t<00,t>0​

注：在t = 0，没有定义

连续单位脉冲

δ ( t ) = { 0 , t ≠ 0 1 , t = 0 \delta(t) =

$$\begin{cases} 0, \quad t \neq 0\\ 1,\quad t = 0 \end{cases}$$ δ(t)={0,t​=01,t=0​

4.关系
$$\begin{gathered} u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (t)dt \\ \delta (t)=\frac{du}{dt} \end{gathered}$$
同样可以用$\delta$进行取样：$x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$

注：实际上$u,\delta$都不是传统意义上的函数，在奥本海姆的书里也没有详细解释．这两个函数在零点的”导数“就规定为之后的函数值．单位脉冲函数也有一小段持续时间，因此用箭头表示．由于这种东西求导很奇怪，下举一例

例：对如图所示的函数求导

求导后得到的导函数为

五、连续/离散系统

1.连续系统：$x(t)\to y(t)$

离散系统：$x[t]\to y[t]$

2.很多不同的物理现象能被归结为详细的系统（函数）

RC电路
{ i ( t ) = v s ( t ) − v c ( t ) R i ( t ) = C d v c ( t ) d t ⇒ 1 R C v s ( t ) = d v c ( t ) d t + 1 R C v c ( t )

$$\begin{cases} i(t) = \frac{v_s(t) - v_c(t)}{R}\\ i(t) = C\frac{dv_c(t)}{dt} \end{cases}$$ \Rightarrow \frac{1}{RC}v_s(t) = \frac{dv_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) {i(t)=Rvs​(t)−vc​(t)​i(t)=Cdtdvc​(t)​​⇒RC1​vs​(t)=dtdvc​(t)​+RC1​vc​(t)

摩擦力$f=\rho v(t)$
$$

\frac{dv(t)}{dt} = \frac{1}{m}[f(t) - \rho v(t)]
\Rightarrow
\frac{dv(t)}{dt} + \frac{\rho}{m}v(t) = \frac{1}{m}f(t)
$$

综合上面两个物理系统，可以看到这两个物理系统都可以写成如下的形式
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$

六、基础系统性质

1.无记忆系统：输出的y(t)进决定于当前的x(t)

2.可逆系统：就跟名字一样，若有$f:x(t)\to y(t)$和$f^{-1}:y(t)\to x(t)$

3.因果性：输出的y(t)只取决于$x(k),k\le n$；显然满足无记忆性则一定满足因果性

4.稳定性：对于有界的$x(t)$，$ y(t)$也有界

5.时间不变性：给x(t)一段时间的偏移，如$t\to t+t_0$，那么输出的y(t)也会在原图形上有相同的偏移；例如今天做RC电路实验，跟明天做RC电路实验得到的电压变化图形一样

6.线性系统：$y_1(t)=x_1(t),y_2(t)=x_2(t)$满足下列条件

（1）可加性：$x_1(t)+x_2(t)$输出为$y_1(t)+y_2(t)$

（2）齐次性：$a{x}_1(t)=a{y}_1(t)$

7.理解系统：系统的本质就是两次函数映射
{ x = g ( t ) y = f ( x , t )

$$\begin{cases} x = g(t)\\ y = f(x, t) \end{cases}$$ {x=g(t)y=f(x,t)​
例：考察$y=x(2t)$的时间不变性

化简成两次映射的形式为：$x=g(t),y=f(x,t)=g(2t)$，其中y不能表示成y = G(x)的形式

（1）取定时间$t_0$，得$x_0=g(t_0),y_0=f(x_0,t_0)=g(2t_0)$，此时$x_0\ne g(2t_0)$

（2）给$x_0$时间移动$\Delta t$，$x_1=g(t_0+\Delta t),t_1=t_0+\Delta t$

（3）给$y_0$移动$\Delta t$，$y_1=g(2t_0+2\Delta t)=g(2t_1)$

（4）由$x_1$无法表示$t_1=g^{-1}(x)$，因此也无法确定$y_1$得图像是否有相同的平移

实际上时间不变性得本值是y = f(x, t)可表示成y = H(t)和y = G(x)两种形式