蓝桥杯DP算法——线性DP（C++）_蓝桥杯 线性dp

在学习了之前的背包问题之后我们已经对于DP问题有了一定的了解，DP是一种思想需要我们以题养题。

一、数字三角形

之所以叫线性DP是因为DP的顺序比较类似线性的，为了方便我们叫线性。实际上还是同一种思想。

例题：https://www.acwing.com/problem/content/900/

根据题目我们得知我们需要寻找出一条权重最大的路径和，基于之前的DP思想，我们可以使用一个二维数组f[i,j]来存放所有从起点走到（i，j）的权重最大值。并且我们根据题意可以得知每个节点只可能由左上或者右上（图中笔误），并且以“曲线救国”的方式来确定此点的f[i,j]。

也就是说：f[i,j]=max(f[i-1,j-1]+a[i,j] , f[i-1,j]+a[i,j])

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
using namespace std;
const int N=510,INF=1e8;
int n;
int f[N][N],a[N][N];
 
int main()
{
    cin>>n;
   for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i + 1; j ++ )
            f[i][j] = -INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    
    f[1][1]=a[1][1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j-1]+a[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
        }
    }
    
    int res=-INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    res=max(res,f[n][i]);
    
    cout<<res;
    
    
    return 0;
}

二、最长上升子序列

例题：https://www.acwing.com/problem/content/897/

根据题意我们可知，是要在一段序列中寻找最长的上升子序列，如图中的例子一般，最长的子序列是1256，是4个。

我们用f[i]表示所以以第i个数结尾的最大上升子序列。状态计算遍历第i个数之前的数的最大值，也就是说f[i]=max(f[j]+1),j=1~i-1

#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N=1010;
int n;
int f[N],a[N];
 
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i]=1;
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
        {
            if(a[j]<a[i])
            f[i]=max(f[j]+1,f[i]);
        }
    }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        res=max(f[i],res);
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

三、最长上升子序列（优化版） 

四、最长公共子序列

题意简单来说就是给两个字符串，找一下最大的两个都有的子序列。

根据以往的尿性，使用一个二维数组f[i,j]来存放所有在第一个序列的前i个字母中出现，且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列，然后我们就将每次更新f[i,j]分成了四种方式00,01,10,11，来分别表示子序列是否在a[i],b[j]中出现过，然后只有当11的时候才是公共的子序列才满足题意，然后“曲线救国”加一即可。

注意到图中的00情况下被划掉了，是因为10和01的情况包含了它。

例题：https://www.acwing.com/problem/content/899/

#include<iostream>
using namespace std;
 
const int N=1010;
int n,m,f[N][N];
char a[N],b[N];
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
        }
    }
    
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

五、最短编辑距离 

例题：https://www.acwing.com/problem/content/904/

六、编辑距离

例题：https://www.acwing.com/problem/content/901/