第十五届蓝桥杯省赛PythonB组F题【魔法巡游】题解_魔法巡游蓝桥杯

题目分析

给定两个长度为 $n$ 的数组 $a,b$。

寻找一个最长的序列 $a_{i_1}$，$b_{i_2}$，$a_{i_3}$，$\dots$，满足：

1. $i_i<i_2<i_3<\dots$。
2. 序列中所有相邻的元素最少要拥有 { 0 , 2 , 4 } \{0, 2, 4\} {0,2,4} 中的一个相同的数字。

解题思路

考虑起点，起点可以是 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\dots$，$a_n$，起点较多，实现较为复杂，我们可以考虑终点。

考虑终点，终点可以是 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\dots$，$a_n$，$b_2$，$a_3$，$a_4$，$\dots$，$b_n$，更多更复杂，所以我们可以在 $a,b$ 的最后加上一个终点元素 $420$，那么终点就一定是 $a_{n+1}$ 或者 $b_{n+1}$。

设 $fa[i]$ 表示以 $a_i$ 为起点的符合要求的最大数组长度，$fb[i]$ 表示以 $b_i$ 为起点的符合要求的最大数组长度。

对于 $fa[i]$：

• 若 $a_i$ 中有 $0$，$fa[i]=\max (fb[j_1],fb[j_2],fb[j_3],\dots )+1$，其中 $b[j_1],b[j_2],b[j_3],\dots$ 中含有 $0$，且 $\min (j_1,j_2,j_3,\dots )>i$。

$2,4$ 同理，我们应当在所有的 $fb[j]$ 中去最大值。

由上可知，计算 $fa[i]$ 时，需要用到 $fb[j]$，其中 $j>i$，计算 $fb$ 时同理，故我们需要在计算 $fa[i]$ 前计算 $fb[j]$，所以顺序应当由后往前。

为了优化动态转移的计算，我们可以定义一个长度为 $3$ 的数组 $pa$，其中 $pa[0]$ 表示截至当前的情况下，含有 $0$ 的 $a_k$，使得 $fa[k]$ 达到最大值，$pb$ 同理。

那么，若 $a_i$ 中含有 $0,2,4$，则有 fa[i] = max(fb[pb[0]], fb[pb[1], fb[pb[2]) + 1。

答案为 $fa$ 中的最大值。

import sys
sys.setrecursionlimit(1000000)
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def get(x):
    a, b, c = False, False, False
    while x > 0:
        t = x % 10
        if t == 0:
            a = True
        elif t == 2:
            b = True
        elif t == 4:
            c = True
        x //= 10
    return [a, b, c]

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))
b = list(map(int, input().split()))

fa = [0 for i in range(n + 1)]
fb = [0 for i in range(n + 1)]

pa = [n, n, n]
pb = [n, n, n]
for i in range(n - 1, 0 - 1, -1):
    x = get(a[i])
    for j in range(3):
        if x[j]:
            fa[i] = max(fa[i], fb[pb[j]] + 1)
    y = get(b[i])
    for j in range(3):
        if y[j]:
            fb[i] = max(fb[i], fa[pa[j]] + 1)
    
    for j in range(3):
        if x[j] and fa[i] > fa[pa[j]]:
            pa[j] = i
        if y[j] and fb[i] > fb[pb[j]]:
            pb[j] = i

print(max(fa))
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43