leetcode：378. 有序矩阵中第 K 小的元素_leetcode 378

题目来源

• leetcode：378. 有序矩阵中第 K 小的元素

题目描述

class Solution {
public:
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {

    }
};
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题目解析

分析数据

（1）数据量。从下面可以看出：

• 这是一个正方形。
• 最大数据量： $300\ast 300=6\ast 10^4$
  • 算法复杂度不能是$O(N^2)$，因为会超过$10^8$
  • 至少应该是$O(N\ast logN)$
    

（2）数据特性

• 值域比较大，所以填表法pass
• 从左到右递增，从上往下递增，
  • 也就是它们具有单调性， 因此，思考：如何利用它呢？可不可以二分或者利用这个特性淘汰某些数据呢？
  • 另外，matrix[0][0]是最小值，matrix[n-1][n-1]是最大值。
• 从k的取值范围可以看出k可以找到矩阵中的任意一个数

二分（最优解）

思路

• 整个矩阵中最小的数是左上角的数(假设为1)，最大的数是右下角的数(假设为1000)。
• 第k小的数(假设k=100)一定在[1, 1000]之间。
• 怎么找这个k小的数呢？
  • 先找<= 500的数有几个？ 如果有200个，那么目标大了，因此
  • 再找<= 250的数有几个？如果有50个，那么目标小了，因此
  • 再找<=375的数有几个？如果刚好有100个，但是数组中并不一定有这个数，那么应该是<=375（>375的数一定会被淘汰）并且离它最近的那个数
• 因此，每一次二分都应该返回两个信息：
  • <= 某一个值的个数有几个？
  • 最接近它的是谁？

问题

思路：要求小于等于target的

• 尽量淘汰比target大的（列）
• 尽量保留小于等于target的（行）

从这里我们可以发现一个性质，

• 任取一个数x满足$l<=x<=r$，那么矩阵中不大于 midx 的数，肯定全部分布在矩阵的左上角。
• 例如下图，取 x=8：

问题

代码

class Solution {
    struct Info{
        int near;
        int num;
        
        Info(int num, int near) : num(num), near(near){
        }
    };
    
    static Info noMoreNum(vector<vector<int>>& matrix, int value){
        int near = INT16_MIN;
        int num = 0;
        int N = matrix.size(), M = matrix[0].size();
        int row = 0, col = M - 1;
        while (row < N && col >= 0){
            if(matrix[row][col] <= value){
                near = std::max(near, matrix[row][col]);
                num += col + 1;
                row++;
            }else{
                col--;
            }
        }
        return { num, near};
    }

public:
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        int N = matrix.size(), M = matrix[0].size();
        int left = matrix[0][0], right = matrix[N - 1][M - 1];
        int ans = 0;
        while (left <= right){
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            // <=mid 有几个 <= mid 在矩阵中真实出现的数，谁最接近mid
            Info info = noMoreNum(matrix, mid);
            if(info.num < k){
                left = mid + 1;
            }else{
                ans = info.near;
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};

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复杂度： O((N + M) * log(max - min))

归并排序(使用堆)

思路

在整个矩阵中，每次弹出矩阵中最小的值，第k个被弹出的就是我们想要的数据

那么，每次弹出矩阵中最小的值呢？

当我们看到下面这个有序矩阵时，我们知道左上角的数字是整个矩阵最小的。

但是弹出它之后，如何能够保证接下来每一次都还能找到全矩阵中最小的值呢？

解决这个问题的关键，在于维护一组“最小值候选人”。

需要保证的是最小值必然从这组候选人中产生，于是每次只要从候选人中弹出一个最小的就可以了。

我们来选择第一组候选人，在这里可以选择第一列，因为每一个数字都是其对应行的最小值，全局最小必然在其中

第一次弹出很简单，将左上角的1弹出即可。

1弹出之后，我们如何找到下一个候选人呢？

很简单，刚才弹出的位置右移一格就行了，这样不是还能保证候选人链表中每一个数字都是每一行的最小值吗，那全局最小值必然在其中！

我们每次弹出候选人当中的最小值，然后把上次弹出候选人的右边一个补进来，就能一直保证全局最小值在候选人列表中产生，

说白了就是每行一路，五路归并，用堆比较最小值。所以上下的顺序是没有用到，只用到左右的顺序

class Solution {
    struct Element {
        int val;
        int x;
        int y;

        Element(int val, int x, int y) : val(val), x(x), y(y) {
        }

        // 方法二定义pq 需要重载 operator>
        bool operator> (const Element &other) const {
            return this->val > other.val;
        }
    };

public:
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        int N = matrix.size(), M = matrix[0].size();

        // 定义pq方法一：用自定义的比较
//        auto comp = [](Element e1, Element e2) { return e1.val > e2.val; };
//        priority_queue<Element, vector<Element>, decltype(comp)> pq (comp);    // 用优先队列表示最小堆

        // 定义pq方法二：在 Element 中重载 operator>，然后用内置的std::greater
         priority_queue<Element, vector<Element>, std::greater<Element>> pq;


        // 初始化：将 matrix 的第一列加入 pq 作为初始的「最小候选值」列表
        for (int r = 0; r < N; ++r) {
            Element e(matrix[r][0], r, 0);
            pq.push(e);
        }

        // 弹出前 k-1 小的值
        for (int i = 0; i < k - 1; ++i) {
            Element top = pq.top(); pq.pop();
            if (top.y != N - 1) {   // 当前 (top.x, top.y) 的右边还有数字，将它右边的数 push 到优先队列中
                Element e(matrix[top.x][top.y + 1], top.x, top.y + 1);
                pq.push(e);
            }
        }

        return pq.top().val;
    }
};
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