机器人学笔记-3正运动学_机器人正运动学

1. 我简单讲两句

在了解了基本的坐标系的变换方式之后，我们着眼于解决实际的机器人设计问题。
那最开始研究的肯定是运动学喽，kinematic，运动学最早会在小学二年级的理论力学课程里讲到，当然中学的物理课也会讲到只是浅尝辄止而已。
无论是在高中物理还是理论力学课本还是机械原理的教科书里，运动学一定处在一个靠前的位置，他研究的是物体的位置、速度和加速度，但是不涉及到力和能量。
先进行运动学分析很自然，因为我们设计一个普通的四杆机构也好，设计复杂的机器人也好，都是要完成指定任务，这些任务往往需要我们的机构上的某一个工具到达指定位置，以什么样的速度、加速度、甚至是加加速度做什么样的运动，我们是基于这些需求进行机构设计，设计之初我们无法确定杆件的长度、材料、质量，所以根本做不了力和能量的分析，所以只做运动学分析，而所有的杆件都简化为无质量的杆，这就十分方便，我们就基于位置、位移进行运动分析就可以了，至于怎么驱动、怎么校核，嘿嘿，不管，明天的事儿明天再说！ : P

对于一个开链的机械臂，如果有n个单自由度关节，把这n个关节的运动量写成一个n维的向量q，这就被称为关节坐标，关节坐标可以唯一确定机械臂的整体姿态。
但是我们用机械臂作业大部分时候不关心机械臂整体是什么样子，不考虑机体和外界干涉（碰撞）的话，我们只关心末端执行器的位姿，而每个关节坐标q一定唯一对应一个末端位姿，当然，如果机械臂足够灵活，同一个末端位姿可以被多个关节坐标对应，所以我们需要建立一个从关节坐标空间到末端位姿空间的映射：
常用的方式是利用DH约定，按一定规则在n+1个杆上都建立坐标系，然后利用一些参数建立两两之间的齐次变换矩阵，然后利用链式法则就可以求任意两个坐标系之间的变换矩阵了，当然我们最关心的是从末端到基座的世界坐标系的变换。
另一种方式是利用运动旋量理论确定n个转轴对应的旋量，直接确定末端到基座的变换，这种形式在数学上和形式上都十分优美和简洁，但是需要的参数为六个多于DH法的4个参数，也就是存在参数冗余，相关知识可以从Morden Robotics简单了解，我们着重介绍DH法，DH法显然是很有利于编程的。

2. DH（Denavit-Hartenberg）约定

2.1 DH原理

三维空间中任意运动可以表示为绕任意空间直线旋转任意角度，可以用一个范数（就是模）为旋转角度 $\theta$ 的空间旋量表示，共需要6个参数，DH法的简洁之处就在于，在机械臂各杆的变换矩阵的构建的问题上，我们按一定规则构建坐标系，可以只用4个参数来表示相邻两个坐标系之间的变换矩阵。

这个规则就是，在上图两个坐标系之间：

1. $x_1$ 垂直于 $z_0$
2. $x_1$ 和 $z_0$ 相交
   这样一定可以确定绕 $z_0$轴的一个转角 ${\theta }_1$使得 $x_0$和 $x_1$平行，而且可以看出延 $z_0$轴移动d后再延 $x_1$方向移动a可以把 $o_0$和 $o_1$重合。
   第一次变换 $R_{z,{\theta }_1}$ 是绕原坐标系 $z_0$轴旋转 ${\theta }_1$使得 $x_0$和 $x_1$平行，也就是使得新产生的坐标系的X轴和 $x_1$平行，这有利于进行延新坐标系X轴平移时候的旋转矩阵的构建（相对于新坐标系X轴移动直接右乘就可以了）。
   第二、三次变换 $T_{z,d_1},T_{x,a_1}$ 就是两次平移把两个坐标系的原点重合
   最后一次变换 $R_{x,{\alpha }_1}$ 使得两个Z轴重合就完事了
   对从第i个坐标系相对于第i-1个坐标系的变换 $A_i^{i-1}$ 来说，有如下结果：
   $${\mathrm{A}}_i^{i-1}=R_{z,{\theta }_i}{T}_{z,d_i}{T}_{x,a_i}{R}_{x,{\alpha }_i}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_{{\theta }_i}& -s_{{\theta }_i}{c}_{{\alpha }_i}& s_{{\theta }_i}{s}_{{\alpha }_i}& a_i{c}_{{\theta }_i}\\ s_{{\theta }_i}& c_{{\theta }_i}{c}_{{\alpha }_i}& -c_{{\theta }_i}{s}_{{\alpha }_i}& a_i{s}_{{\theta }_i}\\ 0& s_{{\alpha }_i}& c_{{\alpha }_i}& d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

** 当然，这些角标i的值怎么确定，以及坐标系怎么对应上序号这个马上就说，根据不同的坐标系的构建方法，其实有很多DH约定的形式，有啥Standard的标准法，还有啥Craig修正法，就是坐标系的选取和标号上有差异，除了这两种历史上还有好多，下面就介绍一种把，具体是啥名字，我还真分不清，我记得BILIBILI有个我国台湾省教授林沛群先生的公开课有讨论两种方式的异同。
当然就算使用相同的约定方式，构建出来的坐标系也会有细微差异，比如x轴取正向反向就产生了两个不同的坐标系，但是殊途同归，所有方法求出的末端到基坐标系的变换矩阵一定是一样的，就好比不管怎么选海平面的位置，喜马拉雅山的相对海拔是不会变的。

2.2 关节、连杆、坐标系代号的确定的规定

（上图基座在右侧，越往右代号越小）
we have n个关节，一次编号1、2、…、n，然后就有n+1个杆，依次编号0、1、2、…、n，所以第i个关节连接的靠近基座的杆就是第i-1号杆，另一个就是第i个杆了。第i个杆上固联一个代号为i的坐标系。

• 所有坐标系Z轴的确定：
  为了方便，我们选取关节的驱动轴（旋转关节的转轴，移动关节的移动轴）为某一个坐标系的z轴，
  那第i个关节连着两个杆：i-1和i，这个轴我们选为第i-1个坐标系的z轴，这样n个关节就确定了0到n-1的坐标系的z轴，而固联在最后一个杆上的坐标系的z轴我们一般让他和 $z_{i-1}$重合。
  所有的z轴确定之后只要确定满足DH约定的两个条件的所有x轴就可以把所有坐标系的位置确定了（y轴由 $Z\times x$得到 ）。

• X轴的确定分三种情况：

1. $z_{i-1}$ 和 $z_i$ 不共面
   $x_i$沿着两个z轴之间的最短垂线，一般方向为从 $z_{i-1}$ 指向 $z_i$
2. $z_{i-1}$ 和 $z_i$ 平行
   于两个轴垂直相交的向量都可以，一般为了方便可以选取过坐标系原点 $o_{i-1}$的 $x_i$,这样 $d_i,{\alpha }_i$就都为零了。一般方向为从 $z_{i-1}$ 指向 $z_i$
3. $z_{i-1}$ 和 $z_i$ 相交
   可以选取 $z_{i-1}\times z_i$的方向亦可以取反向

2.3 构建DH表

坐标系一旦确定，就可以写出i组DH参数也就是原理部分提到的两个转角和两个移动，列出一个DH表后任意相邻两个坐标系之间的变换矩阵就可以通过公式求出来了。
当然因为我们选取的Z轴都是和关节的驱动轴重合的，其实这四个参数里面沿着Z轴方向的位移量d和旋转量 $\theta$之一（以为一个关节只有一个自由度）是可以根据驱动器是直线驱动还是旋转驱动来改变的，而其他三个量是由机构的物理结构决定的。也就是每组参数都只有一个关节变量要么是d要么是 $\theta$.
这部分就是考验你熟练程度的了，想要加深概念就找点题做，所有机器人学的书上都有大量对典型工业机械臂的DH表的构建题。
想要实际计算的就可以自己上手编程了，（人怎么算？不是人算的！）当然机构的尺寸、结构还是要熟悉的，另外在程序化的时候，一般不选用齐次矩阵的方式，而是迭代的方式一步步乘以旋转矩阵然后加上位移，虽然人看着麻烦，但是计算机算着很舒服，这里就不赘述了。