动态规划_构造最优比对

一、动态规划（dynamic programming）

要点一：动态规划通常用于解决最优化问题。

要点二：最优解和最优解的值是不同的概念，最优解可以有多个，最优解的值只能有一个。

要点三：算法设计包含四个步骤：

（1）描述最优解的结构；

（2）递归定义最优解的值；

（3）按自底向上的方式计算最优解的值；

（4）由计算出的结果构造一个最优解。

要点四：应用动态规划的前提有两个：（1）最优子结构（2）重叠子序列

要点五：《算法导论（第二版）》P192

二、LCS的C++实现

（一）借助数组b来构造最优解的值：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
 
using namespace std;
//说明：X，Y表示要匹配的两个序列；m,n分别表示X，Y中要进行比较的字符个数。
//由于在序列X，Y和数组c和b中，下标为0的位置都不用，所以：X，Y，c，b可以如下表示：
//X:0,1,...,m; Y:0,1,...,n; c,b:(0,1,...,m )*(0,1,...,n)。即，c和b都是m+1行n+1列
 
//函数LCS_LENGTH：用于计算LCS的长度（应用数组b做记录）
void LCS_LENGTH(char* X,int m,char* Y,int n,int c[][7],int b[][7])
{
	int i,j;
	
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		c[i][0]=0;
		b[i][0]=0;
	}
	
	for(j=0;j<=n;j++)
	{
		c[0][j]=0;
		b[0][j]=0;
	}
 
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(*(X+i)==*(Y+j))
			{
				//c[i,j]=c[i-1,j-1]+1
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
				//↖：1；↑：2;←：3；
				//b[i,j]='↖'
				b[i][j]=1;
			}
			else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
			{
				c[i][j]=c[i-1][j];
				//b[i,j]='↑'
				b[i][j]=2;
			}
			else
			{
				c[i][j]=c[i][j-1];
				//b[i,j]='←'
				b[i][j]=3;
			}
		}//for(j...)
}//LCS_LENGTH
 
 
//函数PRINT_LCS：用于构造LCS并打印出来（应用数组b）
//n：b数组的列数；i=length(X)；j=length(Y)
void PRINT_LCS(int b[][7],int n,char* X,int i,int j)
{
	if(i==0||j==0)
		return;
	if(b[i][j]==1)
	{
		PRINT_LCS(b,n,X,i-1,j-1);
		cout<<*(X+i)<<" ";
	}
	else if(b[i][j]==2)
		PRINT_LCS(b,n,X,i-1,j);
	else
		PRINT_LCS(b,n,X,i,j-1);
}
 
//main函数（应用b）
void main()
{
	//因为表示序列的字符数组X，Y中的第一位都不用，所以用字符‘0’填充
	char X[]="0ABCBDAB";
	char Y[]="0BDCABA";
	cout<<"LCS-Programming is running!"<<endl;
	cout<<"Squence X:A B C B D A B"<<endl;
	cout<<"Squence Y:B D C A B A"<<endl;
 
	//设置序列X，Y的长度
	int m=7;
	int n=6;
	int i=m,j=n;
	int c[8][7],b[8][7];
 
	cout<<"The LCS length is being computed!"<<endl;
	LCS_LENGTH(X,m,Y,n,c,b);
	
	cout<<"The LCS:";
	PRINT_LCS(b,n,X,i,j);
 
	system("pause");
}

结果：

二、不借助数组b构造LCS的方法（习题15.4-2）：

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
void LCS_LENGTH(char* X,int m,char* Y,int n,int c[][7])
{
	int i,j;
	
	for(i=1;i<=m;i++)
		c[i][0]=0;
 
	for(j=0;j<=n;j++)
		c[0][j]=0;
 
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(*(X+i)==*(Y+j))
				c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
			else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
				c[i][j]=c[i-1][j];
			else
				c[i][j]=c[i][j-1];
		}//for(j...)
}//LCS-LENGTH
 
void PRINT_LCS(int c[][7],int n,char* X,int i,int j)
{
	if(i==0||j==0)
		return;
	if(c[i-1][j-1]==c[i][j]-1||c[i-1][j]==c[i][j]-1||c[i][j-1]==c[i][j]-1)
	{
		PRINT_LCS(c,n,X,i-1,j-1);
		cout<<*(X+i)<<" ";
	}
	else if(c[i][j]==c[i-1][j])
		PRINT_LCS(c,n,X,i-1,j);
	else
		PRINT_LCS(c,n,X,i,j-1);
}
 
void main()
{
	cout<<"LCS-Programming is running!"<<endl;
	cout<<"Squence X:A B C B D A B"<<endl;
	cout<<"Squence Y:B D C A B A"<<endl;
	char X[]="0ABCBDAB";
	char Y[]="0BDCABA";
	int m=7;
	int n=6;
	int c[8][7]={0};
	int i=m,j=n;
 
	cout<<"The LCS length is being computed!"<<endl;
	LCS_LENGTH(X,m,Y,n,c);
	
	cout<<"The LCS:";
	PRINT_LCS(c,n,X,i,j);
 
	system("pause");
}

结果：