[leedcode]刷题有感--动态规划入门及思路模板

一、动态规划思考模板

1、构造dp[]数组，想清楚dp[]数组的具体含义。

2、确定本题目的递推公式

3、初始化dp[]数组

4、确定数组遍历顺序

5、利用初始化后的dp数组结合递推公式推导dp数组，看是否符合题意要求

二、题目示例

1、斐波那契数列-- 一维动态规划

斐波那契数列

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

• 输入：2
• 输出：1
• 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

• 输入：3
• 输出：2
• 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

• 输入：4
• 输出：3
• 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

• 0 <= n <= 30

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第一步、构造dp数组

vector<int>dp(n + 1);  //创建动态规划数组

明确dp数组的含义--dp[i]表示第i个数的大小

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 第二步、写出递推公式

 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  //递推公式

通常根据题目中给出的信息进行模拟和找规律 ，最终找到递推公式

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第三步、初始化dp数组

//初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;  

根据题目需要进行数组初始化

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第四步、确定数组的遍历顺序

for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  //递推公式
        }

斐波那契数列--我们选择从前向后遍历

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第五步、我们自己按照初始化与递推公式进行手动模拟 或 打印dp数组，检查正确与否

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最后，呈上完整代码

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;  //特判，否则for循环部位报错
        vector<int>dp(n + 1);  //创建动态规划数组
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;  //初始化
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];  //递推公式
        }
        return dp[n];
    }
};

2、爬楼梯问题 -- 一维动态规划

爬楼梯问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

• 输入： 2
• 输出： 2
• 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
  • 1 阶 + 1 阶
  • 2 阶

示例 2：

• 输入： 3
• 输出： 3
• 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
  • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
  • 1 阶 + 2 阶
  • 2 阶 + 1 阶

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 爬楼梯问题属于经典的动态规划类问题，我们要从上文提到的动态规划五部曲来思考。

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第一步、构造dp数组

vector<int>dp(n + 1);

我们首先构造一维dp数组

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第二步、写出递推公式

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

我们首先发现本题的递推公式与上题斐波那契数列的递推公式一致，那么我们如何推导的呢？

假如n=3，即我们需要爬三层楼梯才能登上楼顶。

由于我们每次爬楼梯只能爬 一层 或 两层，所以肯定不可能从0层直接爬到三层。

如果想到达三层，只存在两种可能性--1、从一层处 爬两层楼梯到达三层，2、从二层处 爬一层楼梯到达三层。

但是我们不可能一开始就在 一层 或者 二层，我们的初始位置在零层，所以我们还要用同样的思路从零层 爬到 一层 或 二层。

故 dp[3] = dp[2] + dp[1]。 以此类推---dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。

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第三步、初始化dp数组

dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

根据递推公式我们可以将dp数组初始化。

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第四步、确定数组的遍历顺序

for(int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

因为我们必须 从最底层 一层层 向上爬楼梯，所以我们是从前向后遍历。

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第五步、自己手动模拟或者打印dp数组进行检查正确与否。

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最后、呈上本题完整代码

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        vector<int>dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

3、不同路径问题 -- 二维动态规划

不同路径I

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

• 输入：m = 3, n = 7
• 输出：28

示例 2：

• 输入：m = 2, n = 3
• 输出：3

解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 3：

• 输入：m = 7, n = 3
• 输出：28

示例 4：

• 输入：m = 3, n = 3
• 输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

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与爬楼梯问题不同的是，不同路径问题 是一个 图论中也经常出现的问题，在一个二维图表中，我们应使用二维动态规划。

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第一步、构造dp数组，不过是二维数组。

vector<vector<int>>dp(m, vector<int>(n, 0));  //二维动归数组

m为行数， n为列数。dp[][]表示到达坐标(i,j)的位置共有多少种不同的走法。

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第二部、写出递推公式。

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];  //递推公式

题目中规定：我们只能向下走 或者 向右走。由此可得到递推公式。

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第三步、初始化dp数组

for(int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;  //初始化行
        }
for(int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;  //初始化列
        }

第一行 和 第一列 上的所有位置 若想到达则只有1条路径可走，要么一直向右，要么一直向下走。

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第四步、确定数组的遍历顺序

for(int i = 1; i < m; i++) {
            for(int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];  //递推公式
            }
        }

遍历除 第一行 和 第一列 之外的每一个位置-->最终推出到达终点位置的路径数目总和。

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第五步、同理打印dp或手动模拟检查正确与否。

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