【考研数学】一文搞定不等式

1.不等式的基本性质

2.几个重要不等式

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．

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3.基础类型篇

题型一 对公式的简单运用

题型二：条件最值问题

【小结】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

【小结】看好形式上的特点，分子分母同时除以自变量x，或通过其他变形出现基本不等式的可用情况，如积为定值的形式．需要注意的是等号成立的条件，如果不成立，则需转化为对勾函数的知识，运用求导并结合其图像解题．

题型四 多变量综合

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题型五 利用基本不等式证明

【小结】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点．

题型六  基本不等式应用题

【小结】此题主要考察学生对直角三角形边角关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题．

 

以实际问题为背景的解题步骤：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

4.巩固加强篇

5.几个著名不等式

琴生不等式

6.不等式证明的几种常用方法

常用方法有：比较法(作差，作商法)、综合法、分析法；

其他方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．

常见不等式的放缩方法：

7.不等式证明的新法

在不等式的证明中有我们熟悉的常用的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等；除此之外，如果我们从某些不等式结构和形式出发，把握其本质属性，结合已学过的其它知识，往往还可得到一些更加巧妙、新颖的解法。本文就不等式的证明问题提供几种新颖方法，仅供读者参考。

8.不等式的解法

一化：化二次项前的系数为正数．

二判：判断对应方程的根．

三求：求对应方程的根．

四画：画出对应函数的图像．

五解集：根据图像写出不等式的解集．

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．

高次不等式的解法：穿根法

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切)，结合原式不等号的方向，写出不等式的解集．

分式不等式的解法

无理不等式的解法

转化为有理不等式求解

规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解．

指数不等式的解法

对数不等式的解法

含绝对值不等式的解法

含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集．

含参数的不等式的解法

9.恒成立问题

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

10.线性规划问题

(2)二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

在求这四种类型的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．

11.利用导数证明不等式

题型

1

 构造函数法

把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键.

这四道题比较简单，证明过程略.概括而言，这四道题证明的过程分三个步骤：一是构造函数；二是对函数求导，判断函数的单调性；三是求此函数的最值，得出结论.

【启示】证明分三个步骤：一是构造函数；二是对函数求导，判断函数的单调性；三是求此函数的最值，得出结论。

题型

2

通过对函数的变形，利用分析法，证明不等式

【启示】解答第一问用的是分离参数法，解答第二问用的是分析法、构造函数，对函数的变形能力要求较高，大家应记住下面的变形：

题型

3

求最值解决任意、存在性变量问题

解决此类问题，关键是将问题转化为求函数的最值问题，常见的有下面四种形式：

题型

4

分拆成两个函数研究

【注意】(2)如果按题型一的方法构造函数求导，会发现做不下去，只好半途而废，所以我们在做题时需要及时调整思路，改变思考方向.

【启示】掌握下列八个函数的图像和性质，对我们解决不等式的证明问题很有帮助，这八个函数分别为

要求会画它们的图像，以后见到这种类型的函数，就能想到它们的性质.

题型

5

设而不求

当函数的极值点（最值点）不确定时，可以先设出来，只设不解，把极值点代入，求出最值的表达式而证明.

【启示】设而不求，整体代换是一种常用的方法，在解析几何中体现很多.在本例第（2）问中，只设出了零点而没有求出零点，这是一种非常好的方法，同学们一定要认真体会，灵活应用.

题型

6

估值法

极值点不确定，先把极值点设出来，再估计极值点的取值范围（限制得越小越好），从而证明不等式.

题型

7

利用图象的特点，证明不等式

题型

8

证明数列不等式

题型

9

利用放缩法证明不等式

【注意】在解决第（2）问时，用构造函数法证不出来，又试着分开两个函数仍然不行，正当我一筹莫展时，忽然想到与第一问题的切线联系，如果左边的函数的图像在切线的上方，右边函数的图像在切线的下方，这样问题不就得证了吗？心里非常高兴，马上付诸行动。

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