熵权法excel计算过程_漫谈熵

作者：苗兵 (中国科学院大学 材料科学与光电技术学院)

摘要   熵是物理中的一个既重要又微妙的概念。文章从物理学引入熵谈起，依次讨论熵与热力学第二定律、熵的统计力学定义、熵增与基础物理理论的矛盾，以及时间箭头与玻尔兹曼大脑，最后介绍著名的黑洞熵。

关键词   熵，热力学第二定律，时间箭头，玻尔兹曼大脑，黑洞熵

熵(Entropy)是物理学中极为重要的概念，却又是一个仍未得到完全理解的概念。在今天的物理学中，熵在众多不同的研究方向间架起了桥梁。在统计力学里，熵最大定义了平衡态统计，而若说平衡态只是一点的话，那么统计力学里要面对的更多是广阔的非平衡问题，熵在非平衡的讨论里占据中心重要的位置。在宇宙学里，人们曾经根据广义相对论认为“黑洞无毛”，然而热力学的思考带来了黑洞熵的概念。

当信息论的创始人申农(Claude E. Shannon)与冯·诺依曼(von Neumann)讨论如何命名他新发现的度量信息传输中不确定性的量时，冯·诺依曼曾经评论：“You should call it entropy，for two reasons. In the first place your uncertainty function has been used in statistical mechanics under that name, so it already has a name. In the second place, and more important, no one really knows what entropy really is, so in a debate you will always have the advantage.”

1 登场和定义

熵进入物理学最早是从热力学开始的^[1]。德国物理学家克劳修斯(Clausius)在研究卡诺循环时引入了Entropy 的概念。卡诺循环蕴含了热力学的两条基本定律。热力学第一定律明确了热是一种可与机械能相互转换的能量，数学表示成能量守恒定律。然而，热能又与机械能有所不同，这导致了卡诺热机的效率恒小于1，因为总会有一部分热能不能转化为机械能而最终向低温热源释放，这是热力学第二定律。

克劳修斯思索如何用数学形式表达热力学第二定律， 他发现可以定义一个新的物理量：S =Q/T ，即热温之商。如此定义的物理量S 在一个可逆的卡诺循环里变换为零：dS =0 ，因而S是一个状态函数(不依赖于过程)；若热机不可逆，则dS >0 。这样，克劳修斯表述热力学第二定律为：在一个孤立系统之中， dS ≥0 。

克劳修斯将这个新物理量取名为Entropy，这来自于希腊语。前缀可见Entropy 与能量Energy有关，而后缀是变换之意，因此Entropy 联系的是能量变换的过程。写成S 可能是为了纪念卡诺(N. L. Sadi Carnot)。中文翻译“熵”体现的是热温商之意。可是，这个最初由热力学引入的概念在后来的研究中变得极为重要，其意义也远远超越了Entropy 或者中文翻译“熵”所暗示的内容，在包括信息学、宇宙学等领域内都大放异彩。

热力学研究的是宏观物理量之间的转换，而统计力学的目的是从微观自由度(分子、原子)入手推导出热力学关系。熵的统计力学公式由奥地利物理学家玻尔兹曼(Boltzmann)在1877 年的一篇论文中给出：

如今，它被镌刻在玻尔兹曼的墓碑之上(图1)，以纪念这位统计力学的奠基人之一。该式中，熵S是热力学状态变量， W 是在给定宏观状态约束下一个系统所可以具有的微观状态数。由于微观状态数极为巨大，因此取对数并乘上一个非常小的常数k ，即玻尔兹曼常数。取对数并且使得这样定义的熵成为一个具有可加性的热力学广延量。显然公式的左右分别对应了宏观和微观，因此玻尔兹曼定义体现的正是以微观推导宏观的统计力学思路。

图1 玻尔兹曼墓碑。上面镌刻着玻尔兹曼的熵公式

公式(1)中， W 取自德语“Thermodynamische Wahrscheinlichkeit”，意为热力学概率。给定宏观限制下，一个系统的微观自由度越多， W 越大。若所有自由度(微观状态)等概率，则P～1/W 。玻尔兹曼公式写成S =-k logP 。进一步推广，若各自由度不等概率，即P 是微观状态依赖的，则将S 写成S = ，平均对于所有微观状态进行，此时有熵的吉布斯(Gibbs)定义：

在量子统计力学中，熵的公式由冯·诺依曼推广给出：

这里描述状态的密度矩阵ρ 取代了经