基于时间序列的回归问题（2）——序列去噪之奇异谱分析（SSA）_奇异谱分析去噪

1、基本介绍

奇异谱分析（ＳＳＡ）是一种用来分析和预测非线性时间序列的有效方法，它适用于分析具有潜在结构的时间序列。对于笔者正在做的基于时间序列的回归项目，对于原始数据，需要对数据进行分析去噪，从而得到较为有规律的数据为下一步的回归做好准备。SSA正是通过对所要研究的时间序列的轨迹矩阵进行分解、重构等操作，提取出时间序列中的不同成分序列(长期趋势，季节趋势，噪声等)，从而进行对时间序列进行分析或去噪并用于其他一些任务。

2、基本步骤

SSA分解可分为嵌、分解、分组、重构四大步骤，各步骤基本操作如下图所示：

2.1 嵌入

SSA的分析对象是中心化的有限长一维时间序列 [x1,x2,…,xN]，N为序列长度。首先需要选择合适的窗口长度 L 将原始时间序列进行滞后排列得到轨迹矩阵：

通常情况下取 L<N/2L<N/2L<N/2。令 K=N−L+1K =N-L+1K=N−L+1，则轨迹矩阵X为L×K的矩阵：

2.2 分解

接下来对轨迹矩阵进行奇异值分解，注意，这里是对轨迹矩阵进行SVD分解。看资料的时候就是在奇异值分解这里困惑了很久，具体来说就是将 X分解为以下形式：

奇异值分解（SVD）是矩阵论中的一种经典矩阵分解方式，如果想具体了解原理，请自行百度或打开矩阵论课本回顾一下奇异值分解的原理。
对于程序上的实现，这里笔者由于使用Python编写程序，这里就用了numpy.linalg.svd()这个函数。

2.3 分组

在上一步中，只是把轨迹矩阵分成了三个矩阵，但是并没有对整体时间序列做进一步的分组处理，这一步就是基于SVD做进一步的分组，将原有的时间序列分为多个不相交的组，这里有一点像主成分分析（PCA）中的做法，将原有数据按照重要程度的大小分为多个序列，为下一步的重构做准备。
我们利用SSA去噪，其实就是将原有数据的主要成分留下，将不重要的成分认为是噪声，从而去除噪声。

2.4 重构

根据实际需求，选择前n个主要成分组成新的时间序列，即实现重构，从而实现去噪的目的。