python的0/1背包最大价值问题详解_python 0 1背包

第一：0/1背包问题是一个什么样的问题？

0/1背包问题是一个经典的动态规划问题。它的问题描述是：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，还有一个背包的容量限制。需要选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品的总重量不超过背包的容量限制，同时使得放入背包的物品的总价值最大。

问题描述： 有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，价值分别为v1, v2, ..., vn，背包的最大承重为W。求解如何选择物品使得物品的总价值最大化，且总重量不超过背包的承重。

解决方案：

1. 创建一个二维数组dp，大小为(n+1) x (W+1)，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择总重量不超过j的物品的最大价值。
2. 初始化dp数组的第一行和第一列为0。
3. 遍历物品列表，对于每个物品i，遍历背包的承重j从1到W，计算以下两种情况：
   • 不选择物品i：dp[i][j] = dp[i-1][j]
   • 选择物品i：dp[i][j] = dp[i-1][j-wi] + vi 在这两种情况中选择较大的价值作为dp[i][j]的值。

v代表value价值，w代表weight重量

第二：0/1背包问题示例:

下面是一个简单的Python实现：

def knapsack(weights, values, capacity):#定义一个背包有参函数
    n = len(weights)  # 物品的数量，通过重量这个列表得到物品的数量。
 
    # 这段代码创建了一个二维数组 dp，其大小为 (n+1) × (capacity+1)，并且初始化所有元素为0。
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
 
    # 动态规划的过程
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            # 如果当前物品的重量大于背包的容量限制，则不选择当前物品
            if j < weights[i-1] :  
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
            else:
                # 否则，选择当前物品或者不选择当前物品，取价值最大的情况
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], values[i-1] + dp[i-1][j-weights[i-1]])
 
    # 返回最优解（即最大价值）
    return dp[n][capacity]
weights = [2, 3, 4, 5]  # 物品的重量
values = [3, 4, 5, 6]  # 物品的价值
capacity = 8  # 背包的容量限制
 
result = knapsack(weights, values, capacity)
print("最大价值:", result)

如上：

已知状态转移方程

 

运行结果为：

第二个举例展示：

w=[3,2,1,4,5]
v=[25,20,15,40,50]
n=len(w)
capacity=6
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n +1 )]
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,capacity+1):
          if j<w[i-1]:
               dp[i][j]=dp[i-1][j]
          else :
               dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],v[i-1]+dp[i-1][j-w[i-1]])
print("最大价值为:",dp[i][j])

请注意i为物品的实时数量，j为实时容量。

j为0表示此时可装入物品重量为0，i为0表示可装入物品数量为0。
 

运行结果展示：

这个实现的时间复杂度为O(n*capacity)，其中n是物品的数量，capacity是背包的容量限制。