【博弈论】模板总结 + 例题 【补】_博弈论的开放性题目设计

这篇博主要记录了巴什博弈、威佐夫博弈、斐波那契博弈、尼姆博弈与Grundy数（SG函数）等博弈论相关学习笔记。

博弈论题目的主要特点：

• 有两名选手
• 两名选手交替操作，每次只能走一步，每步都必须合法
• 在任何情况下，合法操作只取决于情况本身，与选手无关
• 游戏失败的条件是：某位选手没有可以进行的合法操作

在推到几种博弈的前提是你自己必须想：我是先手！！我一定要赢！！拿出自己的最优策略。

以下是几种常见的博弈题型：

巴什博弈

一堆n个物品，两名选手轮流从中取出1~m个，最后取光者胜。用一个数字（x）表示一堆物品中剩下的数量。

还剩0个物品是一种必败态。当物品还剩下0个、就是一种必输的局势，被称为必败态。

还剩m+1个物品也是一种必败态。因为如果你最多取m个，留给后手的一定小于或等于m个，所以这也是必败态。

接着我们来讨论物品还剩（m+1+k）的情况：

• k=0，转化为m+1，是一种必败态。
• k>0时，有两种情况，第一种是0<k<=m，这是一种必胜态，一次性拿走k个，然后留给对手m+1个，给对手必败态。第二种情况是k>m，有k=t(m+1)+r，其中t>=0、0<=r<=m，所以我们很明显可以看出，如果局面是t(m+1)相当于进行了t次(m+1)操作，是一种必败态；又因为0<=r<=m，一次性取完r，留给对手必败态，自己就是必胜态。

所以，综上所述：若n%(m+1)==0先手必败、反之先手必胜。

核心代码：

int n,m;
cin >> n >> m;
if(n%(m+1)==0)
    cout << "先手必败！\n";
else
    cout << "先手必胜！\n";

威佐夫博弈

有两堆各若干个物品，两人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，每次至少取一个、多的不限。A先手。

我们用(ak,bk)表示两堆物品数量局势，若A面对（0，0），那么A输，这种先手必输的局势，我们称为奇异局势。同样的我们可以得到（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9、15）、（11，18），（12，20）等等。我们在这些局势前很容易发现ak是未在前面出现过的最小自然数，又有：bk=ak+k。我们的ak也可以由[k*（√5+1）] / 2。

所以我们先求出差，差值*黄金分割比==最小者后手赢、否则先手赢。

核心代码：

doublee r = (sqrt(5)+1)/2;
int d = abs(a-b)*r;
if(d!=min(a,b)) return ture;
else return false;

斐波那契博弈

一共n个物品，两人轮流取出1~任意个，但是不能取完，以后每次取的物品都不能超过上一次的2倍，取完者胜。

我们令n代表，还有多少个物品，试着推导一下：

n=2，后手win。先手取一个，后手就能全部取完。

n=3，后手win。先手无论取一个还是两个，后手都可以一次性取完。

n=4，先手win。若先手取一个，后手剩3个，状态转移至n=3，当n=3时，后手先取，先手win。

n=5，后手win。先手取一个，剩余4个，状态转移至n=4，后手先取，后手赢。若先手取两个或者三个，后手可以一下全部取完获胜。

n=6，先手win。先手取一个，剩余5个，状态转移n=5，后手先取，先手赢。

n=7，先手win。先手取两个，状态转移至n=5，后手先取，先手赢。

n=8，后手win。先手取一个，状态转移n=7，后手赢。

等等等等，不再陈述……

我们不难发现，若n是斐波那契数列，后手赢。反之先手赢。

核心代码：

f[0]=f[1]=1;
for(int i=0;f[i-1]<n;i++){
    f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    if(f[i]==n) return true;
}
return false;

尼姆博弈

有n堆物品，两人轮流取，每次取某堆中不少于一个，最后取完者胜。

 要判断游戏的胜负，只需用异或运算就好了。（也不知道哪位神仙发明的如此神奇的算法）。

a1 XOR a2 XOR ……  XOR an !=0 先手赢，若==0后手赢。

核心代码：

int res=0;
for(int i=0;i<N;i++)
    res ^= A[i];
if(res!=0)    cout << "先手win!\n";
else cout << "后手win!\n";

 

Grundy数（SG函数）

有n堆物品，只能按规定集合拿，谁先取完谁获胜！这个东西压轴出场超级神奇！用的好可以解决以上所有问题！

emmm……由于递推过程比较复杂，在这里也不做过多阐述，我感觉套模板就可以了，有兴趣的读者可以前往以下链接：

https://blog.csdn.net/Dog_dream/article/details/80445886     （写的比较详细）

核心代码：

int n,k,x[MAXN],a[MAXN];
int grundy[MAXN+1];
void solve(){
	grundy[0]=0;
	int max_x = *max_element(x,x+n);
	for(int j=1;j<=max_x;j++){
		set<int> s;
		for(int i=0;i<k;i++){
			if(a[i]<=j) s.insert(grundy[j-a[i]]);
		}
		int g=0;
		while(s.count(g)!=0) g++;
		grundy[j]=g;
	}
	int res=0;
	fpr(int i=0;i<n;i++)
		res^=grundy[x[i]];
	if(res!=0) cout << "First win!\n";
	else cout << "Second win!\n";
}

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例题：

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待解决：

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HDU 3032 Nim or not Nim ?

…………慢慢扩展队列，今天不想一个一个粘贴了……