学习笔记：LR语法分析_β规约

自下而上的语法分析

自下而上的语法分析方法：
就是从给定的字符串出发，逐步向上规约，直至文法的开始符S，看能否找到一个最左规约序列。

具体方式：
采用一个存放文法符号的栈，把输入字符串的符号逐个压栈，随时观察栈顶的情况，当栈顶形成某个产生式的一个候选式时，就把这一部分出栈，将该产生式的左端符号压栈，即规约。如此不断地“移进—规约”分析，直到输入符号串移进完，且栈里仅剩下文法开始符为止。

例如：

怎么判断栈里已经形成了可规约串？

1. 算符优先分析法
   如果栈顶符号串已经形成最左素短语，就判断为可规约串。
2. LR分析法
   如果栈顶符号串已经形成句柄，就判断为可规约串。

下面重点讨论LR分析法。

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LR分析法

LR分析过程：
采用一个下推栈，用来存放已移进（的终结符）和规约（的非终结符）的符号串，该符号串看成“历史”；当前准备移进栈的符号看成“现在”；推测将来可能碰到的移进栈的符号串，将其看成“将来”。
LR分析器根据“历史”，“现在”和“将来”判断栈顶是否已经形成句柄，从而确定本次分析应该采取的动作是：规约，移进或语法出错。

然而，在某些状态下，会出现既可以移进也可以规约的情况，或有两个以上不同的规约的情况，称为“移进—规约”冲突，或“规约—规约”冲突。

例如：

LR(K)文法的定义：
一个文法，如果能用一个每步顶多向前检查k个输入符号的LR分析器进行分析，则这个文法就称为LR(K)文法。
通常只讨论K≤1的情况。
K≤1的LR分析器可分为：LR(0)，SLR(1)，LALR(1)，LR(1)。
其中，
LR(0)分析能力最弱，只对无冲突的文法有效；
SLR(0)可采用简单的方法解决冲突；
LALR(1)分析能力较强；
LR(1)分析能力最强，可采用精确的方法解决冲突。

下面重点讨论LR(0)和SLR(1)。

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LR分析器

首先解释一下LR分析器进行语法分析的详细过程，之后再讨论LR(0)和SLR(1)。
LR分析器的结构：

1. 分析栈
   包括状态栈和符号栈：
   状态栈包括分析的状态信息，历史和展望；
   符号栈包括分析过程中移进和规约的文法符号信息。
2. 分析表
   包括action和goto两个子表：
   action[s, a] 为在状态 s下，当前输入符号为 a 时应采取的分析动作。
   ① 移进：把(s,a)的下一状态 s’ 和输入符号 a 推进栈，下一输入符号变成当前输入符号。
   ② 归约：去除栈顶 t 个项，使状态 sm-t 变成栈顶状态，然后把 (sm-t, A) 的下一状态 s’=goto[sm-t, A] 和文法符号 A 推进栈。
   ③ 接收：宣布分析成功，停止分析器工作。
   ④ 出错：语法出错，记录出错处理程序入口。
   goto[s, X] 为状态及非终结符的二维矩阵在状态 s 下，归约后的符号 X 入栈的状态。
3. 总控程序
   根据当前状态栈栈顶符号 s 以及当前输入符号 a 查询分析表 action[s, a] ，根据情况作如下操作：
   ① 若 action[s, a]=s_j，则将状态 j 推入状态栈顶，输入指针指向下一个输入符号。
   ② 若 action[s, a]=r_j，则按照第 j 个产生式 A→β 规约，假设 |β|=t ，则将状态栈顶的 t 个状态出栈；再根据当前栈顶状态 s_i 以及规约后的非终结符 A ，查goto表，若 goto[s_i, A]=k，则将状态 k 推入状态栈顶。
   ③ 若 action[s, a]=acc，则分析成功，输入串被接受。
   ④ 若 action[s, a] 或 goto[s_i, A] 为空白，则转出错处理。

LR分析器的分析过程：
设文法G如下：

则可以得到LR分析表如下：

举例说明：i+i*i 的分析过程

很好理解，一开始状态为0，然后根据输入的字符在LR分析表里找到对应的动作进行操作，直到ACC说明语法分析成功。
由此可见，利用LR分析表就可以进行语法分析了，所以问题的关键在于如何构造LR分析表。

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LR分析表

在开始构造LR分析表之前，需要了解一些概念做准备。

句柄的定义：
S是文法G的开始符号，假定αAδ是文法G的一个句型，如果有
则称β是句型αβδ关于非终结符A的短语。
特别地如果存在产生式A→β，则称β是句型αβδ关于非终结符A的直接短语。
一个句型的最左直接短语称为该句型的句柄。

个人理解：
简单来说，某个句型取一段符号串，如果该符号串能（根据文法）被规约，那么该符号串就是直接短语。
句柄就是在所有直接短语中选取的最左直接短语。
例如：
有句型abbcde，文法中有A→b，那么该句型的句柄就是b；
有句型aAbcde，文法中有A→Ab，那么该句型的句柄就是Ab；

活前缀的定义：
规范句型中不含句柄之后任何符号的一个前缀。
即：从第一个符号开始，到句柄结束，构成了一个符号串，这符号串的前缀叫做该规范句型的活前缀。

活前缀与句柄之间的三种关系：

1. 活前缀不含句柄的任何符号，用A→•αβ表示。
   此时期待从剩余输入串中识别由句柄αβ推导出的符号串。
2. 活前缀只含句柄的真前缀，用A→α•β表示。
   此时句柄αβ中α已识别，并出现在栈顶，期待从剩余输入串中识别由β推导出的符号串。
3. 活前缀已含句柄αβ的全部符号，用A→αβ•表示。
   此时句柄αβ已全部出现在栈顶，下一步应将αβ规约为A。

项目的定义：
A→•αβ，A→α•β，A→αβ•
圆点可以看作栈内外的分界线。
在文法G的产生式不同位置加圆点为文法G的一个LR(0)项目，简称项目。

项目的分类：

1. 归约项目：形如A→αβ•
2. 移进项目：形如A→α•β（•后是终结符）
3. 待约项目：形如A→α•β（•后是非终结符）
4. 接受项目：形如S→αβ•

拓广文法：
对文法G(S)，增加产生式S’→S，把开始符号重新表示为S’，形成拓广文法G(S’)。
在该拓广文法中， 项目S’→S•是唯一的接受项目。

有效项目集：
对活前缀δα有效的项目的集合称为对δα的有效项目集。
如果从初态到达状态A→α•β时，δα已识别出，希望继续从输入串中识别由β推出的串，则称项目A→α•β对活前缀δα有效。

有效项目集闭包closure(I)的求法：
设I是文法G的一个项目集，通过以下步骤构造有效项目集闭包closure(I)：

1. 对 i∈I，都有 i∈closure(I)；
2. 若A→α•Bβ∈closure(I)，且B→η为文法G的一个产生式，则B→•η∈closure(I)；
3. 重复2，直至closure(I)不再增大。

项目集规范族的定义：
一个文法G的所有有效项目集组成的集合，叫做该文法G的项目集规范族。
项目集规范族C的求法：
begin
C : = { closure ( { S’→•S } ) };
repeat
for（ C中每一项目集I和符号X, X∈V* ）
do { if ( go(I, X)∉C ) then 把go(I, X)加入C中 }
until C不再增大
end

举例说明：
设经过拓广后的文法G如下：

求它的LR(0)项目集规范族的过程：

其中：
每一个方框就是一个状态，对应一个项目集I；
每一个箭头对应状态转换的文法符号X。