传感器的温度漂移修正算法_温度修正算法

本文转自传感器的温度修正方法

传感器的温度修正是使用传感器时常遇到的问题，尤其是需要传感器工作在一个较宽的温度范围时，这个问题更加突出。这里描述的方法不一定是最好的，但是它比较简单，适用范围也比较广。

首先，不考虑温度的影响，在某一固定的温度下，设传感器的输入输出值可以用多项式函数表示：

$$y=\sum _{i=0}^N{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_N{x}^N$$

这里$x$是传感器的输出，$y$是传感器所测量的物理量的真实值。实际上，只要传感器的响应可以表示为单调连续函数，就可以利用多项式函数来逼近到任意精度，因此，一般情况下上面的式子是可以成立的。$a_i$可以根据实验数据利用最小二乘拟合（$LMS$）的方法计算出来。实际应用中，N的取值不宜过大，一般取为4以下就足够了，而数据点则是越多越好。

然后考虑温度的影响，不同温度下，上面公式中$a_i$的会发生变化。也就是说$a_i$是温度$t$的函数。类似的，这两者之间的关系也可以用多项式函数来逼近：

$$a_i(t)=\sum _{j=0}^M{b}_{ji}{t}^j=b_{0i}+b_{1i}t+b_{2i}{t}^2+\cdots +b_{Mi}{t}^M$$

通过之前博文介绍过的最小二乘法的一般计算步骤，通过构建齐次线性方程组，我们可以求出最优的$b_{ji}$。(求$i$次最小二乘解)

接下来便可以进行温度修正工作了，将上述公式表示为矩阵形式则有：

T = ( 1 t ⋯ t M ) \mathbf{T}=\left(

$$\begin{array}{llll}{1} & {t} & {\cdots} & {t^{M}}\end{array}$$ \right) T=(1​t​⋯​tM​)

B = ( b 00 b 01 ⋯ b 0 N b 10 b 11 ⋯ b 1 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b M 0 b M 1 ⋯ b M N ) \mathbf{B}=\left(

$$\begin{array}{cccc}{b_{00}} & {b_{01}} & {\cdots} & {b_{0 N}} \\ {b_{10}} & {b_{11}} & {\cdots} & {b_{1 N}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {b_{M 0}} & {b_{M 1}} & {\cdots} & {b_{M N}}\end{array}$$ \right) B=⎝⎜⎜⎜⎛​b00​b10​⋮bM0​​b01​b11​⋮bM1​​⋯⋯⋱⋯​b0N​b1N​⋮bMN​​⎠⎟⎟⎟⎞​

A = ( 1 t ⋯ t M ) ⋅ ( b 00 b 01 ⋯ b 0 N b 10 b 11 ⋯ b 1 N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b M 0 b M 1 ⋯ b M N ) = T ⋅ B \mathbf{A}=\left(

$$\begin{array}{cccc}{1} & {t} & {\cdots} & {t^{M}}\end{array}$$ \right) \cdot \left( $$\begin{array}{cccc}{b_{00}} & {b_{01}} & {\cdots} & {b_{0 N}} \\ {b_{10}} & {b_{11}} & {\cdots} & {b_{1 N}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {b_{M 0}} & {b_{M 1}} & {\cdots} & {b_{M N}}\end{array}$$ \right)=\mathbf{T} \cdot \mathbf{B} A=(1​t​⋯​tM​)⋅⎝⎜⎜⎜⎛​b00​b10​⋮bM0​​b01​b11​⋮bM1​​⋯⋯⋱⋯​b0N​b1N​⋮bMN​​⎠⎟⎟⎟⎞​=T⋅B

$$y=\mathbf{T}\cdot \mathbf{B}\cdot \mathbf{X}$$

写为矩阵形式后的表达式非常的简洁，同时也易于在程序中实现。下面再多说一句，多项式函数可以通过一个小小的变形来减少乘法的次数。

y = ∑ i = 0 N a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a N x N = a 0 + x ( a 1 + x ( a 2 + x ( a 3 + ⋯   ) ) )

$$\begin{aligned} y &=\sum_{i=0}^{N} a_{i} x^{i}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{N} x^{N} \\ &=a_{0}+x\left(a_{1}+x\left(a_{2}+x\left(a_{3}+\cdots\right)\right)\right) \end{aligned}$$ y​=i=0∑N​ai​xi=a0​+a1​x+a2​x2+⋯+aN​xN=a0​+x(a1​+x(a2​+x(a3​+⋯)))​

这种方法称之为多项式的$Horner$算法。

总结，本文描述的方法比较简单、粗暴，之所以这么说是因为它不去探究温度漂移的物理本质，只是用简单的多项式函数来补偿温漂的结果。但正是因为它不依赖于某个具体的物理模型，可应用的范围才会很广。