机器学习编程作业（二）逻辑回归（Logistic Regression）

目录

作业结构

一、逻辑回归（Logistic Regression）

1.1、可视化数据（Visualizing the data）

 1.2、逻辑函数（Logistic function or sigmoid function）

1.3、代价函数和梯度（Cost function and gradient）

1.4、高级优化算法

1.5、逻辑回归的预测

二、正则化的逻辑回归

2.1、可视化数据（Visualizing the data）

2.2、代价函数和梯度（Cost function and gradient）

作业结构

这次的作业全都是必做的，下面我会使用MATLAB来完成该作业。

代码已上传至github，需要自取：代码地址

一、逻辑回归（Logistic Regression）

在这个例子中，我们有一个逻辑回归的模型，要根据一个学生的两门成绩来判断一个学生是否会被录取。

1.1、可视化数据（Visualizing the data）

首先导入ex2data1.txt中的数据，该数据第一行和第二行是学生的两门成绩，第三行是学生是否被录取（0或1），所以输入X矩阵为数据集中第一行和第二行的数据，输出y矩阵为第三行的数据。

data = load('ex2data1.txt');
X = data(:, [1, 2]); y = data(:, 3);

 然后再来可视化这些数据，pos用来存放输出y为1的数据的下标，neg用来存放输出y为0的数据的下标，X(pos, 1)即被录取的学生的第一门成绩，X(pos, 2)即被录取的学生的第二门成绩。

figure; 
hold on;
pos = find(y==1); neg = find(y == 0);
% Plot Examples 
plot(X(pos, 1), X(pos, 2), 'k+','LineWidth', 2, 'MarkerSize', 7); 
plot(X(neg, 1), X(neg, 2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'y', 'MarkerSize', 7);
 
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')
 
legend('Admitted', 'Not admitted')
hold off;

注：

• find(y==1)函数返回的是y矩阵中数值为1的数据的下标（按先从上往下，再从左往右的顺序数）
• hold on和hold off是为了不让后面未被录取（y==0）的学生打印的数据覆盖前面被录取（y==1）的学生打印的数据

然后执行代码，打印图像：

 1.2、逻辑函数（Logistic function or sigmoid function）

首先看一下逻辑回归中的假设函数定义：

 其中函数g就是逻辑函数，其定义为：

 接下来完成逻辑函数在matlab中的实现（z可能为矩阵、向量或者数值）：

function g = sigmoid(z)
 
g = zeros(size(z)); %初始化
len = size(z); %矩阵z的行数和列数
for i = 1 : len(1)
    for j = 1 : len(2)
        g(i,j) = 1 / (1 + exp(-z(i,j))) %计算
    end
end
 
end

1.3、代价函数和梯度（Cost function and gradient）

下面我们要计算逻辑回归中的代价函数梯度，先回顾一下逻辑回归中的代价函数形式：

其对θ的偏导为：

 然后再来实现这个函数，函数要求返回代价函数的计算结果和梯度：

function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)
 
m = length(y); % number of training examples
 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
 
J = sum(-y .* log(sigmoid(X * theta)) - (1 - y) .* log(1 - sigmoid(X * theta))) / m; %计算代价函数
temp = ((sigmoid(X * theta) - y) .* X) / m; %临时数组存放计算结果
len = size(theta);
for i = 1 : len(1)
    grad(i) = sum(temp(:,i)); %求和得到梯度
end
 
end

执行ex2.m中的第二个模块可以得到如下结果：

1.4、高级优化算法

可以直接调用matlab中的fminunc函数来实现该算法，这样我们就不需要手动些一些循环了。该算法已经在文档中写好，可以直接拿来用：

% Set options for fminunc 
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
% Run fminunc to obtain the optimal theta % This function will return theta and the cost 
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial theta, options);

 注：options是为了设置一些选项，将GradObj设置为on代表告诉fminunc函数我们的costFunction能返回代价函数的计算结果和梯度；MaxIter设置为400代表该算法至多运算400次

最后的运行结果为：

 

中间那条直线即为我们的决策边界（DecisionBoundary）。

1.5、逻辑回归的预测

对于这个例子，如果有新的样例，我们要能正确预测输出，其输出为为0（未录取）或1（被录取）两种可能，但是我们上面得到的假设函数h(x)只能得到其被录取的概率，所以我们还需要做一些工作，使其输出为0或1。

我们可以设置一个门限，使当h(x) ≥ 0.5时，我们可以预测y=1，当h(x)﹤0.5时，我们可以预测y=0

二、正则化的逻辑回归

 在第二部分中我们会使用另外一个例子，从两个测试的结果判断一个芯片是否合格。

2.1、可视化数据（Visualizing the data）

首先，和上面一样，我们可以利用之前写的代码把给定的数据集可视化一下，方便我们后续的学习：

 可以明显看到，这次的数据集无法只用一条直线来划分，我们需要使用更复杂的决策边界来划分数据集，但这也加大了过拟合的可能性，所以我们引入了正则化的方法。

2.2、代价函数和梯度（Cost function and gradient）

先回顾一下正则化后的代价函数，就是在原来的基础上加上一个项：

其偏导为

 注：由于我们不想对第0项做正则化，所以把第0项和其他项分开求。

 代码和之前写的差不多，只是要在后面加上额外的一项：

function [J, grad] = costFunctionReg(theta, X, y, lambda)
 
m = length(y); % number of training examples
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
theta_s = [0;theta(2:end)]; %因为不需要对第一个参数正则化，所以第一项为0
 
J = sum(-y .* log(sigmoid(X * theta)) - (1 - y) .* log(1 - sigmoid(X * theta)))/ m + (lambda / (2*m)) * sum(theta_s.^2); %计算代价函数
temp = ((sigmoid(X * theta) - y) .* X) / m; %临时数组存放计算结果
len = size(theta);
for i = 1 : len(1)
    grad(i) = sum(temp(:,i)); %求和得到梯度
end
grad = grad + (lambda / m) * theta_s;
 
end

运行正则化后的梯度下降算法可以得到我们的参数，从而可以得到我们的决策边界，我们可视化看一下得到的决策边界：

当我们设置λ = 0时候，即没有正则化，发现出现了过拟合的情况：

 

当我们设置λ = 100时候，即使正则化的权重过大，发现出现了欠拟合的情况：

 所以可知合适的逻辑参数的选择也是非常重要的。

最后submit一下作业的结果：

 可以看到满分通过，作业结束！