力扣第309题 买卖股票的最佳时机含冷冻期 c++ 动态规划 附Java代码

题目

309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

中等

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数组   动态规划

给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

• 1 <= prices.length <= 5000
• 0 <= prices[i] <= 1000

思路和解题方法

使用了一个二维数组dp来记录状态。数组的每一行表示股票价格的变化情况，每一列代表不同的交易状态：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票时的最大利润
• dp[i][1] 表示第i天完成第一次交易后未持有股票时的最大利润
• dp[i][2] 表示第i天完成第二次交易后未持股票时的最大利润
• dp[i][3] 表示第i天完成所有交易后未持股票时的最大利润

对于第i天的状态转移方程如下：

• dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][3]-prices[i], dp[i-1][1]-prices[i]) （持有股票的最大利润：前一天就持有股票、前一天完成一次交易后买入或前一天完成两次交易后买入）
• dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]) （完成第一次交易后未持股票的最大利润：前一天就完成第一次交易或前一天完成所有交易后卖出）
• dp[i][2] = dp[i-1][0]+prices[i] （完成第二次交易后未持股票的最大利润：前一天完成一次交易并买入当天的股票）
• dp[i][3] = dp[i-1][2] （完成所有交易后未持股票的最大利润：前一天完成第二次交易）

最后，返回dp[n-1][3]、dp[n-1][1]和dp[n-1][2]三个状态中的最大值，即为最大利润。

复杂度

        时间复杂度:

                O(n)

时间复杂度为 O(n)，其中 n 是 prices 的大小。状态转移方程中相对于 i-1 的状态只会被访问一次，因此总共需要访问 n 个状态。

        空间复杂度

                O(n)

空间复杂度为 O(n)，需要使用一个二维数组 dp 保存状态。数组的大小为 n×4，因此空间复杂度为 O(n)。

c++ 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
        // dp矩阵的每一行表示当前天数的状态，共有4个状态：0持股票、1卖出股票、2冷冻期、3未持有股票
        // dp[i][0]表示第i天持有股票的最大收益
        // dp[i][1]表示第i天卖出股票的最大收益
        // dp[i][2]表示第i天处于冷冻期的最大收益
        // dp[i][3]表示第i天未持有股票的最大收益
        dp[0][0] -= prices[0]; // 初始化第一天持有股票的状态
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 根据状态转移方程更新dp数组
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]));
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }
        // 最终结果为最后一天不持有股票、卖出股票和冷冻期的最大收益中的最大值
        return max(dp[n - 1][3], max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
    }
};

附Java代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length < 2) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
 
        // 初始化初始状态
        dp[0][0] = 0; // 第一天不持有股票时的最大利润为 0
        dp[0][1] = -prices[0]; // 第一天持有股票时的最大利润为买入第一天的股票价格的负值
        dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]); // 第二天不持有股票时的最大利润，取前一天不持有股票和前一天持有股票并卖出第二天股票的较大值
        dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]); // 第二天持有股票时的最大利润，取前一天持有股票和买入第二天股票的较大值
 
        for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
            // 状态转移方程
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]); // 第i天不持有股票的最大利润，取前一天不持有股票和前一天持有股票并卖出第i天股票的较大值
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i]); // 第i天持有股票的最大利润，取前一天持有股票和前两天不持有股票并买入第i天股票的较大值
        }
 
        return dp[prices.length - 1][0]; // 返回最后一天不持有股票时的最大利润
    }
}

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