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斐波那契数列-编程求解方法大全

作者：盐析白兔 | 2024-05-27 17:27:03

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请使用您熟悉的编程语言编与一个西数,计算斐波那买数列的前0个数字。斐波那买

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

n<=39

直接上我的代码：

int Fibonacci(int n) {
        int sum =0,l=0,r=1;
        if(n==1)
            return 1;
        else
        {
            for(int i=0;i<n-1;i++)
            {
                sum=l+r;
                l=r;
                r=sum;
            }
        }
        return sum;
    }

这个题可以说是迭代（Iteration） VS 递归（Recursion），

f(n) = f(n-1) + f(n-2)，第一眼看就是递归啊，简直完美的递归环境，递归肯定很爽，这样想着关键代码两三行就搞定了，注意这题的n是从0开始的：

 
        if 
        (n<= 
        1 
        )  
        return 
        n; 
       
 
        else 
        return 
        Fibonacci(n- 
        1 
        )+Fibonacci(n- 
        2 
        ); 
       

然而并没有什么用，测试用例里肯定准备着一个超大的n来让Stack Overflow，为什么会溢出？因为重复计算，而且重复的情况还很严重，举个小点的例子，n=4，看看程序怎么跑的：

Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2);

= Fibonacci(2) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);

= Fibonacci(1) + Fibonacci(0) + Fibonacci(1) + Fibonacci(1) + Fibonacci(0);

由于我们的代码并没有记录Fibonacci(1)和Fibonacci(0)的结果，对于程序来说它每次递归都是未知的，因此光是n=4时f(1)就重复计算了3次之多。

那么如何求解呢，动态规划似乎不错，关于动态规划三个条件：最优子结构、无后效性、子问题重叠这些就不谈了，因为理(wo)论(ye)性(bu)太(tai)强(dong)了。

下例是一个简单的动态规划，以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费：

虽然看起来很蠢，空间浪费了sizeof(int)*(n-1)，但是对于那个超大n的测试用例应该是可以通过了，时间复杂度也达到了O(n)。

那能不能把“优雅”的递归和动态规划结合起来呢？递归的优点在于便于理解和编码，而重复计算的关键原因在于代码里直接就“递”进去然后等着“归”了，所以避免重复的关键在于对子问题是否已经得出解的判断，即：

对于这种有很小范围内的计算，我们可以更暴力一点的。像下面这样：

public class Solution {

public static int Fibonacci( int n) {

int [] ns = { 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1597 , 2584 , 4181 , 6765 ,

10946 , 17711 , 28657 , 46368 , 75025 , 121393 , 196418 , 317811 , 514229 , 832040 , 1346269 ,

2178309 , 3524578 , 5702887 , 9227465 , 14930352 , 24157817 , 39088169 , 63245986 };

return ns[n];

}

另类解法：

public int Fibonacci( int n) {

if (n== 0 ) return 0 ;

if (n <= 2 ) {

return 1 ;

}

if (n == 3 )

return 2 ;

int n1 = 1 ;

int n2 = 2 ;

for ( int i = 4 ; i <= n; i++) {

n1 ^= n2;

n2 ^= n1;

n1 ^= n2;

n2 += n1;

}

return n2;

}

代码量最少的解法：

public class Solution {

public int Fibonacci( int n) {

return n<= 0 ? 0 :n<= 2 ? 1 : Fibonacci(n- 1 ) + Fibonacci(n- 2 );

}

简单粗暴，拿走不谢！

下面这几个解法最牛逼，汇总了，真是逆天的操作：

// 遍历求解
function Fibonacci(n)
{
    var pre = 0;
    var num = 0;
    while (n > 0) {
        if (num == 0) {
            num = 1;
        } else {
            var tmp = num;
            num += pre;
            pre = tmp;
        }
 
        n--;
    }
 
    return num;
}
 
// 暴力求解
function Fibonacci2(n)
{
    var arr = [0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,
    144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,
    10946,17711,28657,46368,75025,
    121393,196418,317811,514229,832040,
    1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,
    14930352,24157817,39088169,63245986];
    return arr[n];
}
 
// 通项公式求解
function Fibonacci3(n)
{
    if (n == 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    if (n == 2) return 1;
 
    var sqrt5 = Math.sqrt(5);
    var result = 1 / sqrt5 * (Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n));
    return Math.round(result);
}

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