luogu P1989 无向图三元环计数（图论无向转有向+思维）_给定一个无向图,在此无向图中删除一个顶点。 编程要求 输入 多组数据,每组m+2行。

## luogu P1989 无向图三元环计数

题意：

给定一个无向图，定义一个三元环 $(u,v,w)$ 满足：$(u,v),(v,w),(w,u)$ ，求无向图中三元环的数量。$n\in [1,10^5]$

思路：

看题解的www

纯粹暴力枚举肯定不行，但是无向图的三元环又不好考虑，那么就将无向图的的边进行定向。

一条边的方向定义规则为：度数小的–>度数大的， 度数相同时，节点编号小的–>节点编号大的

该操作可以保证得到的新图中每个节点的 $Out(v_i)\le \sqrt{m}$ 。

这样处理的好处是，对于一个三元环：

如果三个顶点的度数不相同，那么肯定存在一个顶点的入度>2或出度>2

如果三个顶点的度数相同，因为节点的编号肯定存在一个最小的，那么同样会有上一条的性质。

这样定向后的新图中，不会出现 $<u,v><v,w><w,u>$ 这样的有向环，因为肯定存在一个顶点的入度或出度大于2。原图的三元环就会变成 $<u,v>,<u,w>,<v,w>$ 。这样对于一个三元环中的三个点，只会存在一个节点 $u$，满足$<u,v>,<u,w>,<v,w>$。这样就不会重复计数了。

然后就是枚举所有点，计算当前点 $u$ 可达的点 $v$ ，点 $v$ 可达的点中是否存在 点 $u$ 可达的点。

复杂度证明：

​ 每个顶点的出度一定 $\le \sqrt{m}$ :

• 假如在原无向图中点 $u$ 的度 $\le \sqrt{m}$ ，定向后其出度肯定不会大于等于它在原图中的度
• 假如在原无向图中点 $u$ 的度 $>\sqrt{m}$ ，假如有边 $u$ −> $v$ ，那么 原图中 $u$ 的度小于等于 $v$ 的度，又因为原图中 $u$ 的度是 $>\sqrt{m}$ 的，所以满足条件的点 $v$不超过 $\sqrt{m}$ 个（否则 $\sqrt{m}\times \sqrt{m}=m$ 会超出边数），于是这种情况下 $ou{t}_u<\sqrt{m}$

乍一看，复杂度还是 $O(n\times \sqrt{m}\times \sqrt{m})$。反正是我就不敢写 但其实复杂度是 $O(m\sqrt{m})$ 的。

对于每一条边，它的复杂度贡献都是 $out(v_i)$ 那么总复杂度就是 ${\sum }_{i=1}^{m}out(i)=m\sqrt{m}$

代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#define fi first
#define se second
#include<stdlib.h>
#include <time.h>
//srand((unsigned)time(NULL));
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
const double eps = 1e-7;

struct edge{
    int v, nxt;
}es[N];
int head[N], tot;
void add_edge(int u, int v) {
    tot++;
    es[tot].v = v;
    es[tot].nxt = head[u];
    head[u] = tot;
}
int n, m;
pair<int, int> a[N];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) head[i] = -1;
    vector<int> du(n + 1);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        du[u]++; du[v]++;
        a[i].first = u; a[i].second = v;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int u = a[i].first, v = a[i].second;
        if (du[u] > du[v] || du[u] == du[v] && u > v) swap(a[i].first, a[i].second);
        add_edge(a[i].first, a[i].second);
    }
    int ans = 0;
    vector<int> vis(n + 1, 0);
    for (int u = 1; u <= n; u++) {
        for (int i = head[u]; i != -1; i = es[i].nxt)
            vis[es[i].v] = 1;

        for (int i = head[u]; i != -1; i = es[i].nxt) {
            int v = es[i].v;
            for (int j = head[v]; j != -1; j = es[j].nxt) {
                if (vis[es[j].v]) ans++;
            }
        }

        for (int i = head[u]; i != -1; i = es[i].nxt)
            vis[es[i].v] = 0;
    }

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}

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