上篇文章针对平行于航迹的目标，多普勒历程相似，以参考目标的多普勒历程为依据，设计方位向匹配滤波器，实现方位向脉冲压缩。在进行方位脉压之前，需要通过插值处理实现距离徙动校正，计算量相对较大，本文介绍线性调频变标算法（CSA），该算法通过相位相乘来实现距离徙动校正，计算效率相比RDA有显著提升，下面具体介绍。

一、算法步骤

CSA算法的成像原理与RDA算法基本一致，也是通过方位向匹配滤波“批量”处理同方位的目标来提高成像效率，与RDA不同的是关于距离徙动校正的方法不同：RDA用的是比较笨的方法，通过插值找点的方式实现距离徙动校正，这样校正方式会使得计算量大大增加；CSA通过相位相乘实现距离徙动校正，距离徙动校正的效果可以认为是信号在快时间维进行时移，根据傅里叶变换中“时移对应相位相乘” （延时特性）的性质，可以在距离频域上相乘来实现信号的时移，进行实现距离徙动校正。

上图是不同距离处目标的距离徙动曲线在距离多普勒域上的分布情况，可以看出同方位频率下的不同距离处目标的距离徙动单元不同，直接通过相位相乘无法实现对不同目标的统一距离徙动校正。为此，CSA算法引入变标方程，对不同距离处的目标依照参考距离下的距离徙动曲线进行徙动单元补偿，使得任意目标的距离徙动曲线与参考距离处的距离徙动曲线一致。这样可以通过相位相乘实现一致距离徙动校正。可以看出，CSA算法实现的关键是变标方程的求解，关于变标方程的推导比较复杂，后续根据情况单独出一期。本章主要介绍CSA算法实现过程以及分析CS处理过程距离徙动曲线变化规律，通过这样一个过程，也能够对变标方程的重要性以及巧妙性有一个直观了解。

二、算法步骤

根据CSA算法原理，对应的实现步骤如下图所示：

2.1 回波数据获取

距离时域-方位时域信号获取

接收的回波信号经过下变频得：

$r\left ( \tau ,t \right )=\sigma w_{a}\left ( t-t_{c}\right )w_{r}\left ( \tau -\frac{2R\left ( t \right )}{c} \right )e^{-j\frac{4\pi f_{0}R\left ( t \right )}{c}}e^{j\pi K\left ( \tau-\frac{2R\left ( t \right )}{c} \right )^{2}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$

其中 $t_{c}$ 为波束中心经过目标的时刻， $R\left ( t \right )=\sqrt{R_{0}^{2}+V^{2}\left ( t-t_{0} \right )^{2}}$ ， $t_{0}$ 为零多普勒时刻， $R_{0}$ 为对应的距离。

假设发射的脉冲为宽度为 $T_{p}$ 的矩形脉冲，则信号在距离向的范围函数为：

$w_{r}\left ( \tau \right )=rect\left ( \frac{\tau }{T_{p}} \right )$

假设天线的方向图为 $p\left ( \theta \right )$ ，雷达与目标的斜视角变化函数为 $\theta \left ( t \right )$ ，则信号在方位向的范围函数为：

$w_{a}\left ( t \right )=p^{2}\left ( \theta \left ( t \right ) \right )\approx rect\left ( \frac{t }{T_{sym}} \right )$

距离时域-方位频域信号获取

式（1）的距离多普勒表达式为：

$r_{1}\left ( \tau ,f_{t} \right )=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )w_{r}\left (\frac{1}{1-KZ} \left ( \tau -\frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{t},V \right )} \right ) \right )e^{-j2\pi f_{t}t_{0}}e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}}e^{j\pi K_{m}\left ( K,R_{0}, f_{t}\right )\left ( \tau-\frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{t},V \right )} \right )^{2}}$

其中

$W_{a}\left (f_{t} \right )=w_{a}\left ( \frac{-cR_{0}f_{t}}{2\left ( f_{0}+f_{\tau } \right )V^{2}D\left ( f_{t},f_{\tau },V \right )} \right )$

$K_{m}\left ( K,R_{0}, f_{t}\right )=\frac{K}{1-ZK}$

$Z=\frac{cR_{0}f_{t}^{2}}{2V^{2}f_{0}^{3}D^{3}\left ( f_{t},V \right )}$

从表达式可以看出，不同 $R_{0}$ 下接收的脉冲信号调频率 $K_{m}$ 不同。一般成像区域 $R_{0}$ 相对变化不大，近似认为不变（与相位有关的 $R_{0}$ 还是认为是变量的，因此相位对距离敏感），因此可以认为：

$K_{m}\left ( K,R_{0}, f_{t}\right )=K_{m}\left ( K, f_{t}\right )$

由此，

$r_{1}\left ( \tau ,f_{t} \right )=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )w_{r}\left (\frac{1}{1-KZ} \left ( \tau -\frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{t},V \right )} \right ) \right )e^{-j2\pi f_{t}t_{0}}e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}}e^{j\pi K_{m}\left ( K, f_{t}\right )\left ( \tau-\frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{t},V \right )} \right )^{2}}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

2.2 距离脉冲压缩

CS处理

变标方程

$H_{cs}(\tau ,f_t)=exp\left \{ j\pi K_m\left ( K,f_t \right )\left ( \frac{D\left ( f_{tref} ,V\right )}{D\left ( f_{t} ,V\right )}-1 \right ) \left ( \tau -\tau _{ref} \right )^2\right \}$

处理后信号

$\begin{matrix} \\ \\ \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} r_2\left ( \tau ,f_t\right )=r_1\left ( \tau ,f_t\right )H_{cs}(\tau ,f_t) \\ =\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )w_{r}\left (\frac{1}{1-KZ} \left ( \tau -\frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{t},V \right )} \right ) \right )e^{-j2\pi f_{t}t_{0}}e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}}\\e^{j\frac{4\pi K_m\left ( K,f_t \right )}{c^2}\left ( 1-\frac{D\left ( f_t,V \right )}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )\left ( \frac{R_0}{D\left ( f_t,V \right )} -\frac{R_{ref}}{D\left ( f_t,V \right )}\right )^2} \\e^{j\pi K_{m}\left ( K, f_{t}\right )\left ( \alpha +1 \right )\left ( \tau-\frac{2\left ( R_{0}+\alpha R_{ref} \right )}{c\left ( \alpha +1 \right )D\left ( f_{t},V \right )} \right )^{2}} \end{matrix}$

CS处理后的距离频域-方位频域上表达

基于POSP，对 $r_2\left ( \tau ,f_t\right )$ 进行距离向傅里叶变换，得到：

$\begin{matrix} r_3\left ( f_{\tau} ,f_t\right )=\int r_{2}\left ( \tau ,f_t\right )e^{-j2\pi f_{\tau }\tau}d \tau\\=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )W_{r}\left (f_{\tau }\right )e^{-j2\pi f_{t}t_{0}} \\e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}} \\e^{-j\pi \frac{D\left ( f_{t},V \right )f_{\tau }^{2}}{D\left ( f_{tref},V \right )K_m\left ( K,f_t \right )}} \\e^{-j\frac{4\pi f_{\tau R_{0}}}{cD\left ( f_{tref},V \right )}}e^{-j\frac{4\pi R_{ref}}{c}\left ( \frac{1}{D\left ( f_{t},V \right )}- \frac{1}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )f_{\tau }} \\e^{j\frac{4\pi K_m\left ( K,f_t \right )}{c^2}\left ( 1-\frac{D\left ( f_{t},V \right )}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )\left ( \frac{R_0}{D\left ( f_t,V \right )} -\frac{R_{ref}}{D\left ( f_t,V \right )} \right )^2} \end{matrix}$

距离脉冲压缩

二维频域距离向匹配滤波器：

$H_{rc}\left ( f_{\tau },f_t \right )=e^{j\pi \frac{D\left ( f_{t},V \right )f_{\tau }^{2}}{D\left ( f_{tref},V \right )K_m\left ( K,f_t \right )}} e^{j\frac{4\pi R_{ref}}{c}\left ( \frac{1}{D\left ( f_{t},V \right )}- \frac{1}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )f_{\tau }}$

滤波后信号：

$\begin{matrix} r_4\left ( f_{\tau} ,f_t\right )=r_3\left ( f_{\tau} ,f_t\right )H_{rc}\left ( f_{\tau },f_t \right )\\=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )W_{r}\left (f_{\tau }\right )e^{-j2\pi f_{t}t_{0}} \\e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}} e^{-j\frac{4\pi f_{\tau R_{0}}}{cD\left ( f_{tref},V \right )}}\\e^{j\frac{4\pi K_m\left ( K,f_t \right )}{c^2}\left ( 1-\frac{D\left ( f_{t},V \right )}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )\left ( \frac{R_0}{D\left ( f_t,V \right )} -\frac{R_{ref}}{D\left ( f_t,V \right )} \right )^2} \end{matrix}$

变换到距离多普勒域为：

$\begin{matrix} r_5\left ( \tau ,f_t\right )=\int r_4\left ( f_{\tau} ,f_t\right )e^{j2\pi f_{\tau }\tau }d\tau \\=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )sinc\left ( B_r \left ( \tau -\frac{2R_0}{cD\left ( f_{tref},V \right )} \right )\right ) \\e^{-j2\pi f_{t}t_{0}}e^{-j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}} \\e^{j\frac{4\pi K_m\left ( K,f_t \right )}{c^2}\left ( 1-\frac{D\left ( f_{t},V \right )}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )\left ( \frac{R_0}{D\left ( f_t,V \right )} -\frac{R_{ref}}{D\left ( f_t,V \right )} \right )^2}\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2) \end{matrix}$

2.3 方位脉冲压缩

残余相位补偿

残余相位：

$P\left (\tau,f_t \right )=-\frac{4\pi K_m\left ( K,f_t \right )}{c^2}\left ( 1-\frac{D\left ( f_{t},V \right )}{D\left ( f_{tref},V \right )} \right )\left ( \frac{R_0}{D\left ( f_t,V \right )} -\frac{R_{ref}}{D\left ( f_t,V \right )} \right )^2$

补偿后信号：

$\begin{matrix} r_6\left ( \tau ,f_t\right )=r_5\left ( {\tau} ,f_t\right )e^{jP\left (\tau,f_t \right )}\end{matrix}$

方位匹配滤波

方位向匹配滤波器：

$H_{ac}\left (\tau,f_t \right )=e^{j\frac{4\pi R_{0}D\left ( f_{t},V \right )f_{0}}{c}}$

滤波后信号：

$\begin{matrix} r_7\left ( \tau ,f_t\right )=r_6\left ( {\tau} ,f_t\right )H_{ac}\left (\tau,f_t \right )\\=\sigma W_{a}\left ( f_{t}-f_{dop} \right )sinc\left ( B_r \left ( \tau -\frac{2R_0}{cD\left ( f_{tref},V \right )} \right )\right ) e^{-j2\pi f_{t}t_{0}} \end{matrix}$

基于POSP，对 $r_6\left ( \tau ,f_t\right )$ 沿着慢时间做逆傅里叶变换：

$\begin{matrix} r_8\left ( \tau ,t\right )=\int r_7\left ( {\tau} ,f_t\right )e^{j2\pi f_t t}dt\\=\sigma sinc\left ( B_r \left ( \tau -\frac{2R_0}{cD\left ( f_{tref},V \right )} \right )\right ) sinc\left ( B_a \left ( t -t_0\right )\right )e^{j2\pi f_{dop}t} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)\end{matrix}$

2.4 SAR成像

最终SAR图像为：

$I\left ( R_{0},A_{0}\right )=r_8\left ( \frac{2R_{0}}{cD\left ( f_{tref},V \right )} ,\frac{A_{0}}{V}\right )\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4)$