数据结构之树和堆_堆的左右子树有顺序吗

最优二叉树

哈夫曼树是带权路径最小的一种特殊二叉树，所以也称最优二叉树。
在这里不讨论基本概念如如何计算路径等，而只着重于树的创建，具体过程让我们举例而言。

其基本的原理为：将所有节点一开始都视为森林，每次从森林中选取两个根节点权值最小的树合并为一棵新树，新树的根节点大小为两个子节点大小的和，并将这棵新树重新加入到森林中。
如此一来每一轮操作都可以简化为两个基本操作：合并两棵树、插入新树，直到森林中只剩下一棵树，即是哈夫曼树。

from：https://blog.csdn.net/hd12370/article/details/82877211

有序树

每棵树的子树都按照从左到右的顺序依次排列，不会出现没有左侧的子树而有右侧子树的情况。

树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树。

                                     

堂兄弟：即同一父亲下的所有子树

如何将有序树转换为二叉树

则有序树的结点的后序遍历是二叉树结点的中序遍历。

1. 二叉树

      二叉树的定义：二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有$2^{i-1}$个结点；深度为k的二叉树至多有$2^k-1$个结点。

                                                        

满二叉树和完全二叉树：

　　满二叉树：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。一颗树深度为h，最大层数为k，深度与最大层数相同，总节点数一定是奇数。

　　完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

　　注：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

               

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2. 二叉查找树排序树

　　二叉查找树定义：又称为是二叉排序树（Binary Sort Tree）或二叉搜索树。二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

　　1) 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

　　2) 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；

　　3) 没有键值相等的节点。

　　二叉查找树的性质：对二叉查找树进行中序遍历，即可得到有序的数列。二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。

二叉查找树的插入过程如下：

　　1) 若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点;

　　2) 若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中;

　　3) 若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中。

二叉查找树的删除，分三种情况进行处理：

　　1) p为叶子节点，直接删除该节点，再修改其父节点的指针（注意分是根节点和不是根节点），如图a;

　　2) p为单支节点（即只有左子树或右子树）。让p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可（注意分是根节点和不是根节点），如图b;

     3) p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y（右子树内的最小节点），y一定没有左子树，所以可以删除y，并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点，并用y的值代替p的值；

      或者方法二是找到p的前驱x（左子树内的最大节点），x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为x的左子树的父亲节点。如图c。

from :https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4732377.html#_label1

二叉树的遍历

      二叉树中最重要的操作就是遍历，通常有中序遍历，前序遍历和后序遍历，中序遍历就是左，根，右；而前序遍历是根，左，右；后序遍历则是左，右，根。

    例如 A：根节点、B：左节点、E：右节点，前序顺序是ABE（根节点排最先，然后同级先左后右）；中序顺序是BAE(先左后根最后右）；后序顺序是BEA（先左后右最后根）。

分析中序遍历如下图：

前序遍历：ABCDEFGHK

中序遍历：BDCAEHGKF

后序遍历：DCBHKGFEA

已知2个，可以求另一个：首先前序中，第一个是根节点，第二个是根的左节点；后序中，最后一个是根节点；中序中，根节点后面紧跟着的是根节点的右节点。

from：https://blog.csdn.net/qq_33243189/article/details/80222629 

层次遍历：

层次遍历，就是从上到下一层一层的遍历                      

二叉树的层次遍历借助一个队列来实现：

    先将二叉树根节点入队，然后出队，访问该节点，如果有左子树，则将左子树根节点入队；如果有右子树，则将右子树根节点入队。然后出队，对出队节点访问，如此循环，直到队列为空。如下图所示：注意图中右侧表示队尾，左侧表示队头。

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3、平衡二叉树

　　我们知道，对于一般的二叉搜索树（Binary Search Tree），其期望高度（即为一棵平衡树时）为log2n，其各操作的时间复杂度O(log2n)同时也由此而决定。但是，在某些极端的情况下（如在插入的序列是有序的时），二叉搜索树将退化成近似链或链，此时，其操作的时间复杂度将退化成线性的，即O(n)。我们可以通过随机化建立二叉搜索树来尽量的避免这种情况，但是在进行了多次的操作之后，由于在删除时，我们总是选择将待删除节点的后继代替它本身，这样就会造成总是右边的节点数目减少，以至于树向左偏沉。这同时也会造成树的平衡性受到破坏，提高它的操作的时间复杂度。于是就有了我们下边介绍的平衡二叉树。

　　平衡二叉树定义：平衡二叉树（Balanced Binary Tree）具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用算法有红黑树、AVL树等。在平衡二叉搜索树中，我们可以看到，其高度一般都良好地维持在O(log2n)，大大降低了操作的时间复杂度。

　　最小二叉平衡树的节点的公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1

　　这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。

3.1、AVL树

   AVL树定义：AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。AVL树得名于它的发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树，n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(logn)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。例如：我们按顺序将一组数据1,2,3,4,5,6分别插入到一颗空二叉查找树和AVL树中，插入的结果如下图：

，

     由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

       这里我们关注的是两个变化很大的操作：插入和删除！

　　我们知道，AVL树不仅是一颗二叉查找树，它还有其他的性质。如果我们按照一般的二叉查找树的插入方式可能会破坏AVL树的平衡性。同理，在删除的时候也有可能会破坏树的平衡性，所以我们要做一些特殊的处理，包括：单旋转和双旋转！

    旋转主要是为了实现AVL树在实施了插入和删除操作以后，树重新回到平衡的方法。对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：

                         

       1) 6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。

　　2) 6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。

　　3) 2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。

　　4) 2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。

　　从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。

单旋转

　　单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。

                                    

　　为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。

　　这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。

双旋转

　　对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。

 

　为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树。

from：https://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4732377.html

左右情况的左右旋转实例：

4、堆

    堆就是用数组实现的二叉树，所有它没有使用父指针或者子指针。堆根据“堆属性”来排序，“堆属性”决定了树中节点的位置。它是利用完全二叉树的结构来维护一组数据，然后进行相关操作，一般的操作进行一次的时间复杂度在O(1)~O(logn)之间。

    在最大堆中，父节点的值比每一个子节点的值都要大。在最小堆中，父节点的值比每一个子节点的值都要小。这就是所谓的“堆属性”，并且这个属性对堆中的每一个节点都成立。（注意堆：对左右子节点没有大小要求）

堆的常用方法：

• 构建优先队列
• 支持堆排序
• 快速找出一个集合中的最小值（或者最大值）

堆还分为两种类型：大根堆、小根堆，就是保证根节点是所有数据中最大/小，并且尽力让小的节点在上方

不过有一点需要注意：错误的认为大/小根堆中下标为1就是第一大/小，2是第二大/小……

　　让我们加入一组数据吧！下标从1到9分别加入：{8，5，2，9，3，7，1，4，6}。如下图所示

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

堆的几个基本操作：

1. 上浮 shift_up；
2. 下沉 shift_down
3. 插入 push
4. 弹出 pop
5. 取顶 top

我们以小根堆为例

     我们很容易就能看出，根节点1元素8不是最小的，它的子节点3(元素2)比它来的小，我们怎么将它放到最高点呢？很简单，直接交换，又发现节点3的子节点7(元素1)似乎更适合在根节点。这时候我们是无法直接和根节点交换的，那我们就需要一个操作来实现这个交换过程，那就是上浮 shift_up。

操作过程如下：

   从当前结点开始，和它的父节点比较，若是比父节点来的小，就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父节点下标；否则退出。操作图示:

　　　　　　　　　　　　　　　　

     一次上浮完毕之后，发现节点3(元素8)不太合适放在那，那么问题来了：节点3应该往哪下沉呢？我们知道，小根堆是尽力要让小的元素在较上方的节点，而下沉与上浮一样要以交换来不断操作，所以我们应该让节点7与其交换。　　　　　

由此我们可以得出下沉的算法了：　　　

　让当前结点的子节点(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则退出。模拟操作图示：

　　　　　　

接下来是插入操作

　我们前面用的插入是直接插入，所以数据才会杂乱无章，那么我们如何在插入的时候边维护堆呢？其实很简单，每次插入的时候呢，我们都往最后一个插入，让后使它上浮。

弹出：

　顾名思义就是把顶元素弹掉，但是，弹掉以后不是群龙无首吗？？我们如何去维护这堆数据呢?我们得出一个十分巧妙的算法：让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了!

取顶：

根节点数组下标必定是1，返回堆[ 1 ]就OK注意：每次取顶要判断堆内是否有元素，

from：https://www.cnblogs.com/JVxie/p/4859889.html

堆可用于排序：

动图演示：

from：https://www.runoob.com/w3cnote/heap-sort.html