戳气球问题_n个气球编号0到n-1存在数组nums中

有n个气球，编号为0到n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组nums中。
现在要求你戳破所有的气球。戳破第i个气球，你可以获得nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1]枚硬币。这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得的硬币的最大数量。

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 315 + 358 + 138 + 181 = 167

思路：区间动态规划

给定四个球分别为[3, 1, 5, 8]，其实可以看做数组[1, 3, 1, 5, 8, 1]；

1. 状态表示：
   f[i][j]表示戳破(i, j)之间所有气球的集合，得到的硬币最大数量。

2. 状态计算：设i和j之间最后一个被戳破的气球为k，那此时(i, k)和(k, j)之间的气球已被戳破，得到的结果已经存放在dp[i][k]和dp[k][j]内，最后(i, j)之间只剩下气球k，相邻的就是气球i和j。
   f[i][j]=f[i][k]+f[k][j]+p[i]∗p[k]∗p[j]

class Solution
{
public:
    int maxCoins(vector<int> &nums)
    {
        int n = nums.size();
        vector<int> p(n + 2, 1);

        for (int i = 0; i <= n; i++) // 引入两个虚拟气球,两端填充1操作
        {
            p[i] = nums[i - 1];
        }

        vector<vector<int>> f(n + 2, vector<int>(n + 2, 0)); // 引入两个虚拟气球

        for (int len = 1; len <= n + 2; len++) // len代表可变长度，按左端点 + 长度遍历, 在len = 1的时候，第三个for循环始终不成立。
        {
            // 当len = 2时
            for (int i = 0; i + len - 1 <= n + 1; i++) // i + 2 - 1 = i + 1 <= 5
            {
                int j = i + len - 1; // i ∈ [0,1,2,3,4]，j ∈ [1,2,3,4,5]，k ∈ [1,2,3,4,5]。
                if (len == 1 || len == 2)
                {
                    f[i][j] = 0;
                }
                for (int k = i + 1; k <= j - 1; k++) // 在当前区间内，寻找最大的硬币数量。
                {
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + p[i] * p[k] * p[j]);
                }
            }
        }
        return f[0][n + 1];
    }
};
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复杂度分析

• 时间复杂度：O(N³)，因为有三重for循环
• 空间复杂度：O(N²)，因为开辟了一个新的二维dp数组

参考链接