#698 (Div. 2)C. Nezzar and Symmetric Array（数学）_long time ago there was a symmetric array a1,a2,…,

题目描述

Long time ago there was a symmetric array a1,a2,…,a2n consisting of 2n distinct integers. Array a1,a2,…,a2n is called symmetric if for each integer 1≤i≤2n, there exists an integer 1≤j≤2n such that ai=−aj.
For each integer 1≤i≤2n, Nezzar wrote down an integer di equal to the sum of absolute differences from ai to all integers in a, i. e. di=∑2nj=1|ai−aj|.
Now a million years has passed and Nezzar can barely remember the array d and totally forget a. Nezzar wonders if there exists any symmetric array a consisting of 2n distinct integers that generates the array d.

Input

The first line contains a single integer t (1≤t≤105) — the number of test cases.
The first line of each test case contains a single integer n (1≤n≤105).
The second line of each test case contains 2n integers d1,d2,…,d2n (0≤di≤10^12).
It is guaranteed that the sum of n over all test cases does not exceed 105.

Output

For each test case, print “YES” in a single line if there exists a possible array a. Otherwise, print “NO”.
You can print letters in any case (upper or lower).

Example

input
6
2
8 12 8 12
2
7 7 9 11
2
7 11 7 11
1
1 1
4
40 56 48 40 80 56 80 48
6
240 154 210 162 174 154 186 240 174 186 162 210
output
YES
NO
NO
NO
NO
YES

Note

In the first test case, a=[1,−3,−1,3] is one possible symmetric array that generates the array d=[8,12,8,12].
In the second test case, it can be shown that there is no symmetric array consisting of distinct integers that can generate array d.

题目大意

有一个长度为2*n的序列a[i]，a[]中的元素是对称的（即如果序列中存在一个a[i]，那么序列中就一定存在一个a[j]=-a[i]）。通过a[]算出一个d[]序列。
d[i]=$\sum _{j=1}^{2\ast n}|a_i-a_j|$。 现在给出一个d[]序列，问是否该序列能还原出一个a[]序列。

题目分析

前提条件1。根据d[i]的计算公式可以发现：d[i]的值与a[]序列中的数值有关，而与a[]序列中数值的位置无关。因此在求解答案的过程中，我们是可以对d[]中数的位置进行改变的。

前提条件2。在序列中如果$|a[i]|>|a[j]|$，那么一定有$d[i]>d[j]$ (这个条件我不太会证明，大家多找几个数试试就知道了)。

前提条件3。如果a[i]=-a[j]，那么一定有d[i]=d[j]。d[i]=∑|a[i]-a[k]|，d[j]=∑|a[j]-a[k]|=∑|a[i]+a[k]|。因为a[]序列是对称的（本题对称的定义请看上面的题目大意）因此d[i]=d[j]。

因此我们可以对d[]进行升序排序。排完序后得d[]序列为d[1]=d[2]<d[3]=d[4]<……<a[2n-1]=d[2n]。
其对应的a[]序列为：a[1]=-a[2]<a[3]=-a[4]<……<a[2n-1]=-a[2n]。

此时我们假设a[]中奇数项为正数，偶数项为负数，得：
d[1] = |a[1]-a[1]| + |a[1]-a[2]| + |a[1]-a[3]| + |a[1]-a[4]| + …… +|a[1]-a[2n-1]| + |a[1]-a[2n]| = 2$\ast$a[1] + |a[1]-a[3]| + |a[1]+a[3]| +……+ |a[1]-a[2n-1]| + |a[1]+a[2n-1]|;

d[3] = |a[3]-a[1]| + |a[3]-a[2]| + |a[3]-a[3]| + |a[3]-a[4]| + …… +|a[3]-a[2n-1]| + |a[3]-a[2n]| = 2$\ast$a[3] + |a[3]-a[1]| + |a[3]+a[1]| +……+ |a[3]-a[2n-1]| + |a[3]+a[2n-1]|;

……

d[2n-1] = |a[2n-1]-a[1]| + |a[2n-1]-a[2]| + |a[2n-1]-a[3]| + |a[2n-1]-a[4]| + …… +|a[2n-1]-a[2n-1]| + |a[2n-1]-a[2n]| = 2$\ast$a[2n-1] + |a[2n-1]-a[1]| + |a[2n-1]+a[1]| +……+ |a[2n-1]-a[2n-3]| + |a[2n-1]+a[2n-3]|;

因为a[]中所有数得大小关系均已确定，因为我们可以把绝对值符合取掉：
d[1]=2$\ast$a[1] +（a[3]-a[1] + a[1]+a[3]）+……+（a[2n-1]-a[1] + a[1]+a[2n-1]）=2$\ast$a[1]+2$\ast$a[3]+……+2$\ast$a[2n-1]；

d[3]=2$\ast$a[3] +（a[3]-a[1] + a[3]+a[1]）+……+（a[2n-1]-a[3] + a[3]+a[2n-1]）=4$\ast$a[3]+2$\ast$a[5]+……+2$\ast$a[2n-1]；

d[2n-1]=2$\ast$a[2n-1] +（a[2n-1]-a[1] + a[2n-1]+a[1]）+……+（a[2n-1]-a[2n-3] + a[2n-1]+a[2n-3]）=2n$\ast$a[2n-1]；

最后解得：d[2x-1]=2x*a[2x-1]+2*a[2x+1]+……+2*a[2n-1];
有了这个公式，我们就可以通过d[]序列求出a[]序列来了，在计算得过程中，判断求出得a[i]是否合法。如果算出来得序列最终整个是合法得，那么输出YES。

注：a[i]不能小于等于0，a[i]中的元素不能有重复（别问我怎么知道的。。。）

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=2e5+5;
LL d[N];				//d[]中的数会爆int，因此要用longlong来存
bool check(int n)		//判断长度为2n的d[]序列中是否只有n种数（前提条件3）
{
	for(int i=2;i<=n;i+=2)
		if(d[i-1]!=d[i]) return false;
	return true;
}
int main()
{
    int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n;
		scanf("%d",&n);
		n<<=1;
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&d[i]);
		sort(d+1,d+1+n,greater<LL>());			//因为a[i]只能是从大到小求，因此可以直接从大到小排序
		if(!check(n))
		{
			puts("NO");
			continue;
		}
		LL sum=0,a=0;
		bool flag=true;
		for(int i=2;i<=n;i+=2)
		{
			d[i]-=2*sum;				//使d[i]中只剩下(n-i+2)*a[i]（代码中的d[]与分析中的d[]是相反的）
			if(d[i]%(n-i+2)||d[i]<=0||a==d[i]/(n-i+2))		//“注”中的条件，判断所求的a[i]是否合法
			{
				flag=false;
				break;
			}
			a=d[i]/(n-i+2);			//用a保存本次的结果
			sum+=a;
		}
		if(flag) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
    return 0;
}
1
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