P1217 回文质数 Prime Palindromes【素数】

[USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes

题目描述

因为 $151$ 既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以 $151$ 是回文质数。

写一个程序来找出范围 $[a,b](5\le a<b\le 100,000,000)$（一亿）间的所有回文质数。

输入格式

第一行输入两个正整数 $a$ 和 $b$。

输出格式

输出一个回文质数的列表，一行一个。

样例 #1

样例输入 #1

5 500
1

样例输出 #1

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101
131
151
181
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提示

Hint 1: Generate the palindromes and see if they are prime.

提示 1: 找出所有的回文数再判断它们是不是质数（素数）.

Hint 2: Generate palindromes by combining digits properly. You might need more than one of the loops like below.

提示 2: 要产生正确的回文数，你可能需要几个像下面这样的循环。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

产生长度为 $5$ 的回文数：

for (d1 = 1; d1 <= 9; d1+=2) {    // 只有奇数才会是素数
     for (d2 = 0; d2 <= 9; d2++) {
         for (d3 = 0; d3 <= 9; d3++) {
           palindrome = 10000*d1 + 1000*d2 +100*d3 + 10*d2 + d1;//(处理回文数...)
         }
     }
 }

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8

问题链接： P1217 回文质数 Prime Palindromes
问题分析：
数论问题，有可能TLE，所以要想办法减少计算量。
方法一：枚举输入的a到b之间的整数
编写筛选法程序，选出素数。
编写回文判定程序，判定回文。
为了减少枚举的数量，编写用离线程序（见后）计算得出，算出100,000,000以内最大的回文素数是9989899。
不减少枚举数量的话，会导致TLE，所以编写离线程序是必要的。
方法二：枚举回文数
先枚举回文数，再进行该回文数是否为素数的判定。这种方法可以大幅减少枚举数量，可降低算法复杂度。
分析得知，满足$5\le a$的一位数的素数回文只有5和7，2位数的素数回文只有11。
偶数位的回文都是11的倍数，所以不用考虑。
这样就只需要考虑3、5和7位数的回文即可。
解题程序暂时略。
参考链接： （略）
题记： （略）

AC的C++语言程序如下：

/* P1217 回文质数 Prime Palindromes */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 9999999;
bool prime[N + 1];

// Eratosthenes筛选法
void esieve(int n)
{
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = false;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(prime[i]) {
            for(int j = i * i; j <= n; j += i)  //筛选
                prime[j] = false;
        }
    }
}

bool palindromes(int n)
{
    int p = 0, t = n;
    while (t) {
        int d = t % 10;
        p = p * 10 + d;
        t /= 10;
    }
    return p == n;
}

int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    if (a > b) return 0;
    if (a % 2 == 0) a++;
    if (b > 9989899) b = 9989899;
    esieve(b);
    for (int i = a; i <= b; i += 2)
        if (prime[i] && palindromes(i))
            printf("%d\n", i);
    return 0;
}
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C++语言的离线计算程序如下：

/* P1217 回文质数 Prime Palindromes 离线程序*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

// Eratosthenes筛选法
const int N = 100000000;
bool prime[N + 1];
void esieve(int n)
{
    memset(prime, true, sizeof(prime));
    prime[0] = prime[1] = false;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(prime[i]) {
            for(int j = i * i; j <= n; j += i)  //筛选
                prime[j] = false;
        }
    }
}

bool palindromes(int n)
{
    int p = 0, t = n;
    while (t) {
        int d = t % 10;
        p = p * 10 + d;
        t /= 10;
    }
    return p == n;
}

int main()
{
    esieve(N);

    for (int i = N - 1; ; i -= 2)
        if (prime[i] && palindromes(i)) {
            printf("%d\n", i);
            break;
        }

    return 0;
}
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