空间复杂度

什么是空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中占用内存空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

注意点：空间复杂度是考虑程序运行时占用内存的大小，而不是可执行文件（程序本身）的大小。空间复杂度只能预先大体评估程序内存使用的大小，而不是精确计算，因为很多因素会影响程序真正内存使用大小，例如编译器的内存对齐、编程语言容器的底层实现等等，这些都会影响到程序内存的开销。

举例说明

两个函数，空间复杂度分别为：

# O(1)
def f1(n):
    j = 0
    for i in range(n):
        j += 1
    return j
 
# O(n)
def f2(n):
    a = []
    for i in range(n):
        a.append(i)
    return a
'
运行
运行

在第一个函数中，所需开辟的内存空间并不会随着n的变化而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，所以表示为O(1)。在第二个函数中，随着n的增大，开辟的内存大小呈线性增长，这样的算法空间复杂度为O(n)。在递归的时候，会出现空间复杂度为logn的情况，比较特殊。

斐波那契数列递归算法的性能分析

以斐波那契数列为例，做一下性能分析：

def fibonacci(n):
    if n <= 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
'
运行
运行

首先回顾一下时间复杂度：递归算法的时间复杂度 = 递归的次数 * 每次递归中的操作次数。每次递归进行了一次加法操作，时间复杂度是O(1)，递归的次数可以抽象成一棵递归树：（以n=5为例）

 在这棵二叉树中每一个节点都是一次递归，一棵深度（按根节点深度为1）为k的二叉树最多可以有 个节点，所以该递归算法的时间复杂度为O(2^n)，这个复杂度是非常大的，随着n的增大，耗时是指数上升的。

然后再来看空间复杂度：递归算法的空间复杂度 = 每次递归的空间复杂度 * 递归深度。

为什么要求递归的深度呢？因为每次递归所需的空间都被压到调用栈里（这是内存管理里面的数据结构，和算法里的栈原理是一样的），一次递归结束，这个栈就是把本次递归的数据弹出去。所以这个栈最大的长度就是递归的深度。

回到斐波那契数列的例子，每次递归所需要的空间大小都是一样的，所以每次递归中需要的空间是一个常量，并不会随着n的变化而变化，每次递归的空间复杂度就是 O(1)。递归的深度如图所示：

递归第n个斐波那契数的话，递归调用栈的深度就是n。那么每次递归的空间复杂度是O(1)， 调用栈深度为n，所以这段递归代码的空间复杂度就是O(n)。

此算法时间复杂度非常高的主要原因是最后一行的两次递归，所以优化算法的方向就是减少递归的调用次数：

def fibonacci(first, second, n): #初始值 first = second = 1
    if n <= 0:
        return 0
    elif n <= 2:
        return 1
    elif n == 3:
        return first + second
    else:
        return fibonacci(second, first + second, n - 1)
'
运行
运行

举例来说 n=5 时 fibonacci(1,1,5) → fibonacci(1,2,4) → fibonacci(2,3,3) → 2+3=5。这里相当于用first和second来记录当前相加的两个数值，此时就不用两次递归了。因为每次递归的时候n减1，即只是递归了n次，所以时间复杂度是 O(n)。同理递归的深度是n-2，每次递归所需的空间还是常数，所以空间复杂度依然是O(n)。

最后总结一下：

可以看出，求斐波那契数的时候，使用递归算法并不一定在性能上是最优的，但递归确实简化了代码层面的复杂度。

二分法（递归实现）的性能分析

二分查找：

def binary_search(arr, l, r, x):
    if r >= l:
        mid = l + (r - l) // 2
        if arr[mid] == x:
            return mid
        elif arr[mid] > x:
            return binary_search(arr, l, mid - 1, x)
        else:
            return binary_search(arr, mid + 1, r, x)
    else:
        return -1
'
运行
运行

此算法时间复杂度为O(logn)。每次递归的空间复杂度主要就是参数里传入的这个arr数组，但需要注意的是在C/C++中函数传递数组参数，不是整个数组拷贝一份传入函数而是传入数组首元素地址。也就是说每一层递归都是公用一块数组地址空间的，所以每次递归的空间复杂度是常数即：O(1)。（Python呢？）再来看递归的深度，二分查找的递归深度是logn ，递归深度就是调用栈的长度，那么这段代码的空间复杂度为 1 * logn = O(logn)。

注意：关注语言在传递函数参数时，是拷贝整个数值还是拷贝地址，如果是拷贝整个数值那么该二分法的空间复杂度就是O(nlogn)。

学习自【代码随想录】