【运动规划】人工势场构造扩展&多点人工势场组合控制高自由度机器人_人工势场结构用途

Robot Motion Planning: A Distributed Representation Approach

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1 一些表示

• A：机器人，机器人上的点成为控制点（Control Points），用p表示

• W：机器人所处的空间（Work Space），可以包含一系列bitmap，W中的点用x表示

• C：Configuration，指定机器人在W中的位置、朝向，进一步可以对应到机器人身上的控制点，C集合的元素用q表示

• $C_{free}$：不会使机器人和障碍物发生碰撞的一系列Configuration的集合

• BM：Bitmap，反映W中的障碍物分布情况，从Workspace中的x映射到1/0，1表示有障碍，0则为无障碍

• *$W_{empty}$：W中满足BM(x)=0的点集，即非障碍物区域

• X：前向运动映射（Forward Kinematic Map），X(p,q)→x，即从C作用于A，映射到W
  
  
  

2 W域势场（Work Space Potential）-- $V_{p_i}$

2.1 Work Space Potential

在W域构造一个势场$V_{p_i}$，使每一个非障碍物点x都对应一个Potential值

下角标$p_i$代表控制点，对于机器人上的不同控制点，可能有不同的目标位置，甚至障碍物等信息有差异，故每个控制点可以对应自己单独的势场。

2.2 势场需要达到的目标

构造$V_{p_i}$有如下两个目标：

• 势场仅在目标处有唯一全局极小值
• 给定任意起点，沿梯度下降方向找到一条通往目标的path，且距离障碍物越远越好

2.3 计算W域势场

为实现上述目标，用下面两步计算$V_{p_i}$：

2.3.1 计算$d_1$，并获得skeleton

对每个$x\in W_{empty}$，计算$d_1(x)$，步骤如下：

① 设置地图边缘和障碍物外缘的点的$d_1$值为0
② 设置其邻点的$d_1$值为其$d_1$值+1
③ 循环往复进行传播，直到$W_{empty}$中的所有点都计算完毕

d1是从地图边缘和障碍物外缘同时向外递增传播的，其相遇处将形成d1的极大值，这些具有$d_1(x)$极大值的x点将构成S（Work Space Skeleton “骨架”），如下图：

上图第一幅图对应第一张图的Skeleton。观察几幅Skeleton，可以发现，原地图上连通的区域，Skeleton上也一定会相连，作者提到其形式和Voronoi图很相似。

2.3.2 获得$d_1$和skeleton后，计算$V_{p_i}$

这里作者给出两种算法，NF1和NF2

NF1不使用d1和skeleton，直接设置目标点$V_{p_i}(x_{goal})=0$，从目标点向外递增传播（遇到障碍物时停止，不传播），得到的W域势场如下：

显然，它满足了第一个目标而未满足第二个目标，能沿梯度下降到达目标，但却并非尽可能远离障碍物。

NF2要用到d1和skeleton，算法如下：

简单来说，就是先把目标点连进Skeleton，构成新的Skeleton，先在Skeleton内由目标开始递增传播，Skeleton传播完成后再由Skeleton向全图递增传播。这样一来，在地图上任意给定起点，机器人都会沿梯度方向先行驶到Skeleton上，再顺着Skeleton上的梯度行驶到目标。联系Skeleton的特点，可以发现如此生成的势场可以同时满足两个目标。

关于生成势场的方式，作者提出可以不限于他给出的方式，比如若将算法第四步$V_p(y)$设置为$V_p(x)+1/d$，则靠近障碍物外缘/地图边缘时Potential值将趋于无穷。

3. C域势场（Configuration Space Potential）-- $U$

3.1 Configuration Space Potential

作者给出的C域势场计算公式如下：

对于任意一个Configuration值，即q而言，机器人的C域势场为它在该Configuration下，所有控制点在其各自W域势场下的Potential值的一种组合（由G函数决定）

个人理解，区别于W域势场将机器人视为单点进行单一约束，C域势场可以同时考虑多个控制点，可以用于高自由度机器人甚至机械臂的运动规划。

3.2 Configuration域离散化

$\delta$：W域地图分辨率

${\delta }_{min}$、${\delta }_{max}$：同一场景下会有一套分辨率由低到高的地图，高分辨率数值小，用${\delta }_{min}$表示，低分辨率数值大，用${\delta }_{max}$表示

$r_{min}$、$r_{max}$：$r_{min}=-lo{g}_2({\delta }_{max})$，$r_{max}=-lo{g}_2({\delta }_{min})$

这里$r_{min}$对应W域低分辨率，$r_{max}$对应W域高分辨率

类似地，用$\Delta$和$R$来表示C域分辨率，$R=-lo{g}_2(\Delta )$

当Configuration离散化后，每个q之间的间隔为$\Delta$，用偏导数表示W域坐标随C域的q变化的情况（个人觉得，简单情况下这个值可以等于1吧），二者乘积即为相邻的q的变化造成的W域坐标的变化大小。

我们希望Configuration离散化的结果是相邻的q的变化不要造成太大的W域坐标的变化，那么令上式=nbtol×$\delta$，也就是W域的几个分辨率（nbtol表示一个小整数），可得满足要求的C域分辨率为

用对数形式表示为

将下列值及nbtol=2带入上式可得

那么对数关系的-1，也就对应于x、y这两维上C域的分辨率是W域的一半。其实也刚好对应于nbtol的取值。

3.3 组合策略

• 方法1：各控制点势场加权求和
  
  特点：“雨露均沾”
  缺陷：各控制点都想尽可能到达自己的目标位置，加剧了这种竞争。并且这种加权组合容易产生local minima，造成规划失败

• 方法2：取最小值
  
  特点：“捷足先登”，哪个控制点已经离自己的目标点更近了，就优先让它到达
  优势：减小了产生local minima的几率
  缺陷：一旦一个控制点抵达目标，G值将降至0，其他控制点将不能再在当前基础上向其目标运动
  改进：ε为较小的实数，举例可以取0.1，需要根据不同机器人进行不同选择以达到最佳效果
  

• 方法3：取最大值
  
  特点：“锱铢必较”
  缺陷：更加加剧竞争，更容易产生local minima（但一定程度上降低其volume）
  优势：很适合于高自由度机器人和机械臂