LeetCode 剑指 Offer II 动态规划（五） 专题总结（完结，附动态规划经典公式）_leetcode 动态规划精讲 小册

前言：动态规划专题最后一篇，已完结，附动态规划经典公式

往期文章 ：

• LeetCode 剑指 Offer II 回溯(下) 专题总结
• LeetCode 剑指 Offer II 动态规划（一） 专题总结
• LeetCode 剑指 Offer II 动态规划（二） 专题总结
• LeetCode 剑指 Offer II 动态规划（三） 专题总结
• LeetCode 剑指 Offer II 动态规划（四） 专题总结

动态规划常见问题：
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1、组合问题：
377. 组合总和 Ⅳ
494. 目标和
518. 零钱兑换 II

2、True、False问题：
139. 单词拆分
416. 分割等和子集

3、最大最小问题：
474. 一和零
322. 零钱兑换

组合问题公式

dp[i] += dp[i-num]

True、False问题公式

dp[i] = dp[i] || dp[i-num]

最大最小问题公式

dp[i] = min(dp[i], dp[i-num]+1) 或 dp[i] = max(dp[i], dp[i-num]+1)

当然拿到问题后，需要做到以下几个步骤：

1. 分析是否为背包问题。
2. 是以上三种背包问题中的哪一种。
3. 是0-1背包问题还是完全背包问题。也就是题目给的nums数组中的元素是否可以重复使用。
4. 如果是组合问题，是否需要考虑元素之间的顺序。需要考虑顺序有顺序的解法，不需要考虑顺序又有对应的解法。

背包问题技巧：

1. 如果是0-1背包，即数组中的元素不可重复使用，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序；

for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
	for(int j = target; j >= 0; j--) {
	
	}
}
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3
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5

2. 如果是完全背包，即数组中的元素可重复使用，nums放在外循环，target在内循环。且内循环正序。

for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
	for(int j = nums[i]; j <= target; j++) {
		
	}
}
1
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4
5

3. 如果组合问题需考虑元素之间的顺序，需将target放在外循环，将nums放在内循环。

for(int i = 1; i <= target; i++) {
			for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
				
			}
		}
1
2
3
4
5

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103. 最少的硬币数目

题目：

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

提示：

• 1 <= coins.length <= 12
• 1 <= coins[i] <= 231 - 1
• 0 <= amount <= 104

思路：

完全背包：取任意n种东西无限个，使结果为最大（最小）
我们采用自下而上的方式进行思考。定义 f(i) 为组成金额 i 所需最少的硬币数量，假设在计算 f(i) 之前，我们已经计算出 f(0)−f(i−1) 的答案。 则 f(i)对应的转移方程应为
f[j] = min(f[j], f[j - coins[i]] + 1);
其中coins[i]] 代表的是第 i 枚硬币的面值，即我们枚举最后一枚硬币面额是 coins[i]] ，那么需要从 j - coins[i] 这个金额的状态 f[j - coins[i]] 转移过来，再算上枚举的这枚硬币数量 1 的贡献，由于要硬币数量最少，所以 f(i) 为前面能转移过来的状态的最小值加上枚举的硬币数量 1。
假设 coins = [1, 2, 3], amount = 6

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        vector<int> dp(amount+1, amount+1);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] == amount+1? -1 : dp[amount];
    }
};
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104. 排列的数目

题目：

给定一个由 不同 正整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。数组中的数字可以在一次排列中出现任意次，但是顺序不同的序列被视作不同的组合。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

进阶：如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？

思路：

爬楼梯问题
楼梯的阶数一共为target，一次可以走的步数为nums[i]。 一共有多少种走法？
转化成这种思想直接搞定，要注意的点就是C++数据会溢出
两种解决方案：

1. dp改成unsigned类型
2. dp时增加判断条件：两数之和不超过32位整数

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        // 当不选取任何元素时，元素之和才为 0，因此只有 1 种方案
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= target; i++) {
            for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
                // 如果不加第二个判断条件就会溢出，
                // 解决方法：1. dp改成unsigned类型
                // 2. 加上下面第二个判断条件,两数之和不超过32位整数，题目已经保证不超过32位整数范围
                if(i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
                    dp[i] = dp[i] + dp[i - nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};
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