什么是递归？

目录

一、啥叫递归

二、递归语言例子

三、递归的三大要素

第一要素：明确你这个函数想要干什么

第二要素：寻找递归结束条件

第三要素：找出函数的等价关系式

四、常见案例

案例1：阶乘

案例2：斐波那契数列

 案例3、电影院找座位

---

一、啥叫递归

聊递归之前先看一下什么叫递归。
递归，就是在运行的过程中调用自己。

构成递归需具备的条件：
1. 子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；
2. 不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。

二、递归语言例子

我们用2个故事来阐述一下什么叫递归。

1，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……’”

2，大雄在房里，用时光电视看着从前的情况。电视画面中的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况。电视画面中的电视画面的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况……

三、递归的三大要素
 

第一要素：明确你这个函数想要干什么

对于递归，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。

例如，我定义了一个函数

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
 
}

这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。

第二要素：寻找递归结束条件

所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。

例如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧？此时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n == 1){
        return 1;
    }
}

有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗？

当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
}

第三要素：找出函数的等价关系式

第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即

f(n) = n * f(n-1)。

// 算 n 的阶乘(假设n不为0)
int f(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }
    // 把 f(n) 的等价操作写进去
    return f(n-1) * n;
}

四、常见案例

案例1：阶乘

我们先来看一个最简单的递归调用-阶乘，代码如下

    <script>
      // ======================n的阶乘======================
      // n的阶乘:n!=n*(n-1)*...*3*2*1;
      // 1、公式：fn(n)=fn(n-1)*n;(也可写为：fn(n)=n*fn(n-1))
      // 2、终点：fn(1)=1;
 
      function fn(n) {
        if (n === 1) {
          return 1;
        } else {
          return fn(n - 1) * n;
        }
      }
      console.log(fn(5));
      // 打印上面函数执行之后的返回值。
 
      // 公式推导：2=2*1; ==> fn(2)=2*fn(1)；
      //          3=3*2*1 ==> fn(3)=3*fn(2)；
      //          4=4*3*2*1 ==> fn(4)=4*fn(3);
      //          ...
      //          n=n*(n-1)*...*3*2*1 ==> fn(n)=n*fn(n-1);
      // 总结：运用递归思想，找好公式和终点(最重要)。
    </script>

案例2：斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1.....,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

   <script>
      // ==================斐波那契数列==================
      // 斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89...
      // 同理：先找公式和终点。
      // ==>从第三位开始，前两位数之和得到自己。
      // 前提：设置n为位数。n表示第n位。
      // 1、公式：fn(n)=fn(n-1)+fn(n-2);
      // 2、终点：fn(1)=1;f(2)=1;
      //        前两位数没有规律，第三位开始规律；双终点。
 
      function fn(n) {
        if (n === 1 || n === 2) {
          return 1;
        } else {
          return fn(n - 1) + fn(n - 2);
        }
      }
      console.log(fn(7));
    </script>

 案例3、电影院找座位

  <script>
      // ==================电影院找座位（问前排）==================
      // 同理：先找公式和终点。
      // 1、公式：fn(n)=fn(n-1)+1;
      // 2、终点：fn(1)=1;（第一排前面没人了，知道自己是第一排）
      function fn(n) {
        if (n === 1) {
          return 1;
        } else {
          return fn(n - 1) + 1;
        }
      }
      console.log(fn(5));
    </script>