欧拉筛 线性筛_c++ 欧拉筛

埃氏筛（埃拉特斯特尼筛法）

int visit[maxn];
void Prime(){
mem(visit,0); //初始化都是质数
visit[0] = visit[1] = 1; //0 和 1不是质数
for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
if (!visit[i]) { //如果i是素数，让i的所有倍数都不是质数
for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) {
visit[j] = 1;
}
}
}

线性筛

复杂度为O(n)。与埃氏筛相比，不会对已经被标记过的合数再进行重复标记，故效率更高。欧拉筛将合数分解为 (最小质因数 * 一个合数) 的形式，通过最小质因数来判断当前合数是否已经被标记过。

在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的

const int MAXN=3000005;
int prime[MAXN];//保存素数 
bool vis[MAXN];//初始化 
int Prime(int n)
{
	int cnt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)//关键 
			break;
		}
	}
	return cnt;//返回小于n的素数的个数 
}
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举例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define debug puts("YES");
#define rep(x,y,z) for(int (x)=(y);(x)<(z);(x)++)

#define lrt int l,int r,int rt
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define ll long long
const int  maxn =2e7+5;
const int mod=1e9+7;

ll gcd(ll x,ll y){return y==0?x:gcd(y,x%y);}
ll powmod(ll x,ll y){ll t;for(t=1;y;y>>=1,x=x*x%mod) if(y&1) t=t*x%mod;return t;}
/*
题目大意：就是找一个数拆成两个无平方因子
的组合数，然后求个前缀和。
这道题O(nlogn)不能过。。
筛法的巧妙就在于参杂着动态规划，
首先质数的答案贡献都是2，
那么对于要被其最小质因子筛去的合数，
该合数可以表示为prim[j]*i,如果i不是prim[j]的倍数，
那么ans[k]=ans[prim[j]]*ans[i](DP).
也好想，dp[x]只要拆解x为p和q，p和q不含相同因子即可，dp[p]*dp[q].
如果i含有prim[j]呢，两种情况，
如果i可以整除质因子的平方，那么答案置为零，
如果不能，那么根据DP的思想，答案可以去除平方项计算。
欧拉筛的思想是，每个数只能被其最小的质因子筛去，
这样DP的思想是有效的，状态无疑是可以坍塌到以前的。
*/

int prim[maxn],tot=0;
int vis[maxn],miu[maxn];
int ans[maxn];
void sieve()
{
    ans[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(vis[i]==0) prim[tot++]=i,ans[i]=2;
        for(int j=0;j<tot;j++)///欧拉筛的思想是，每个数只能被其最小的质因子筛去，这样DP的思想也是有效的，因为状态无疑是可以坍塌到以前的。
        {
            int k=prim[j]*i;
            if(k>=maxn) break;
            vis[k]=1;
            if(i%prim[j]) ans[k]=ans[i]*ans[prim[j]];
            else
            {
                int tp=prim[j]*prim[j];
                if(i%tp==0) ans[k]=0;
                else ans[k]=ans[k/tp];
                break;
            }
        }
    }
}

int n;

int main()
{
    sieve();
   // for(int i=1;i<maxn;i++)
    //{
    //    for(int j=i,k=1;j<maxn;j+=i,k++)
     //   {
     //       ans[j]+=miu[k]*miu[i];
     //   }
    //}
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        ans[i]+=ans[i-1];
    }
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}
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