Logistic 回归_logit如何计算标签

原来以为logistic回归只是很简单，没什么的干货的算法，在看了吴恩达老师的深度学习网易公开课和同学的交流之后，发现这个是很多算法的基础，很重要，这里系统的记录一下学习心得：

####1.logistc分布
随机变量X服从Logistic分布，即有分布函数和密度函数如下：
$$F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{e^{-(x-\mu )/\gamma }}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{e^{-(x-\mu )/\gamma }}{\gamma (1+e^{-(x-\mu )/\gamma })}\text{\hspace{1em}(2)}$$
两个函数的图如下：

图中$\mu =0,\gamma =1$，$\mu$为位置参数，决定了对称点的位置，$\gamma >0$是形状参数，决定了压缩的形状。可以看到，分布函数就是常用的sigmoid函数，常用来作神经网络二分类的激活函数，将无穷范围内的输入x值压缩到（0,1）之间，提供了分类的概率。

####2.二项Logistic回归模型
看名字是回归，其实这是个分类模型，由条件概率分布P(Y|X)表示，随机变量X为实值，Y为0或1：
$$P(Y=1|x)=\frac{e^{w\cdot x+b}}{1+e^{w\cdot x+b}}=\frac{1}{1+e^{-(w\cdot x+b)}}\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$P(Y=0|x)=\frac{1}{1+e^{(w\cdot x+b)}}\text{\hspace{1em}(4)}$$
以上两个公式是从概率角度来看的，其实是只有一个公式P(Y=1|x),另外的P(Y=0|x)=1-P(Y=1|x)，，所以我们只需要求公式3即可。所以供决策函数（Andrew NG）来看，所以目标属于Y=1类在特征x下的条件概率为：
$$h_w(x)=g(w^{T}x)=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}x+b)}}\text{\hspace{1em}(5)}$$
一个事件的几率是指该事件发生与不发生的概率比值。如果该事件发生概率为p，那么几率为$\frac{p}{1-p}$,取个对数$log\frac{p}{1-p}$,即为对数几率，对于Logistc回归而言，其对数几率为：
$$log\frac{P(Y=1|x)}{1-P(Y=1|x)}=w^{T}x+b\text{\hspace{1em}(6)}$$
可以看出，Logistic回归就是一般线性回归的对数几率，这里本人的理解是将一般线性回归（预测的值范围是整个实域），通过sigmoid压缩到(0,1)之间，转化成概率。
####3.参数估计
可以采用极大似然估计估计参数模型，给定数据集T={$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_n,y_n)$}，设：P(Y=1|x)=$\pi (x)$，P(Y=0|x)=1-$\pi (x)$，则似然函数为：
$$\prod _{i=1}^n[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}\text{\hspace{1em}(7)}$$
公式7中，当$y_i=1$时，后面的$[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}$为1；当$y_i=0$时，前面的$[\pi (x_i){]}^{y_i}$为1。Logistc回归而言，算出样本属于1或者0的概率，哪一个概率大便取那个作为当前的结果，所以公式7可以看成n个样本的预测结果的概率的连乘，只不过每个样本都有两种结果，所以取个$y_i$的指数将两者都cover到。取对数，对数似然函数为：
$$L(w,b)=\sum _{i=1}^n[y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i))]$$
$$L(w,b)=\sum _{i=1}^n[y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i))]$$
值得一提的是，在Andrew NG的公开课中，将Logistic回归的单个样本的Loss函数定义为：
$$L(w,b)=-(y_{i}log\pi (x_i)+(1-y_i)log(1-\pi (x_i)))$$
即传说中的log损失，整个样本集上的代价cost函数定义为$J(w,b)=\frac{1}{m}L(w,b)$。
这两者并不冲突，在上述极大似然函数中求得是似然函数的极大值，损失函数或者代价函数求得是最小值，只是多个$\frac{1}{m}$的区别。
通常采用梯度下降（极大似然估计采用梯度上升）或者拟牛顿法求解Logistic回归最优化问题。

####4.多项Logistic回归（softmax分类，多分类任务）
多项Logistic回归又名softmax分类器，针对多分类问题。假设要分的类有K个，{1,2,3$\cdots$,K}，那么模型最后输出为K维的向量（向量的各维度的和为1），每个维度的值即为样本属于当前类的概率，公式化来讲，假设函数$h_{\theta }(x)$形式如下：

其中$\theta 1,\theta 2,\cdots ,\theta k$为模型参数，分别将样本映射到k个类别，做个归一化（除以所有类别的总和），即为概率。假设样本的特征维度为n，加上偏置1，则这里$\theta i$的维度为（n+1）,为了方便起见，将k个$\theta i$纵向叠在一起，形成k*(n+1)的矩阵：
这样一个k*(n+1)的矩阵右乘（n+1）维的向量，得到k维的向量。
李航老师的《统计机器学习》中将softmax模型化为：
$$P(Y=k|x)=\frac{e^{w_k\cdot x+b_k}}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}{e}^{w_k\cdot x+b_k}},k=1,2,\cdots ,K-1\text{\hspace{1em}(8)}$$
$$P(Y=K|x)=\frac{1}{1+{\sum }_{k=1}^{K-1}{e}^{w_k\cdot x+b_k}}\text{\hspace{1em}(9)}$$
这个本质上是一样的，前面我们说归一化除以分母（所有K类的结果的和）获得概率，注意看公式8和9的分母，和的下标是从1到K-1，这里只是将其中第K的结果（经过$\theta K\cdot x$再取e的指数）置为1，这里我的理解是为了与之前的二类logistics回归对应，二分类中，将属于0类的结果置为1一样，只要求出另一种1类的概率就行了。
#####4.1 softmax的代价函数
1{$\cdot$}表示示性函数，取值规则为1{值为真的表达式}=1，1{值为假的表达式}=0。softmax的代价函数也是交叉熵：

第i个样本，取其真实标签对应的概率值求对数的负数，然后将m样本求平均。即交叉熵中，真实分布为p，模型输出为q，其交叉熵即为-plogq。在二分类的logistics回归中，代价函数是一致的，Logistics代价函数可以写成：

对于第一行，保证去的是y真实值得那一项，另一项为零。
#####4.2 softmax模型参数化的特点
softmax模型的特点就是，它的参数有个“冗余的”参数集，假设我们从参数向量 ${\theta }_j$ 中减去了向量 $ \psi$，这时，每一个 $ \theta_j$都变成了 $ \theta_j - \psi(j=1, \ldots, k)$。此时假设函数变成了以下的式子：

可以看出无论减去什么向量，都不影响最后的结果，换句话来说，softmax模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数，可以求出多组参数值，这些参数得到的是完全相同的假设函数 $h_{\theta }$。这也能解释了softmax和Logistics回归的关系：

当类别数 k = 2 时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。具体地说，当 k = 2 时，softmax 回归的假设函数为：

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令$\psi ={\theta }_1$，并且从两个参数向量中都减去向量${\theta }_1$，得到:
用$\theta$来表示$\theta 2-\theta 1$就可以得到上文中的logistics回归的模型了。

####5.总结
个人的一点看法即为，给定数据样本X（特征向量），数据标签Y，机器学习（回归，分类）的本质是妄图找出数据样本与其标签的之间的关系。在Logistic回归中，模型认为X,Y服从Logistic分布，尽力用该分布来拟合数据样本和标签。那么logistic回归为什么使用Log损失作为其损失函数呢，我的理解是这样的：
logistic回归模型是一个概率模型，因为在描述该分类时，我们其实是以概率来衡量的。从Logistic曲线就能看出，无论横坐标取什么值，它的值总是在[0,1]之间变化，它的物理含义很明确，指单个样例，在条件x下，出现的【概率】。所有单个样本都对应于一个概率，用概率模型来描述这个分类过程就是：给定样本X，试图求出模型参数$\theta$在该条件下的概率$P(\theta |X)$，使其最大，有贝叶斯公式：
$$P(\theta |X)=\frac{P(\theta ,X)}{P(X)}=\frac{P(X|\theta )P(\theta )}{P(X)}$$
对于模型本身来说，可以不看$\theta$先验概率和样本X的概率，这样：
$$P(\theta |X)=P(\theta ,X)$$
要想最大化左边的$P(\theta |X)$,只需要最大化右边的$P(X|\theta )$，即
$$[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}$$
这是针对单个样本而言，在每个样本出现的条件下$\theta$的条件概率就是取每个样本的连乘值：
$$\prod _{i=1}^n[\pi (x_i){]}^{y_i}[1-\pi (x_i){]}^{1-y_i}$$
这就是似然函数，取对数就是Log损失，也就是交叉熵。