梯度下降法(Gradient Descent)求解最优化问题_凸函数梯度下降一定是全局最优解

梯度下降法应用十分广泛，可以用于求解最小值问题。一个机器学习算法的目标就是要找到其损失函数最低点对应的参数，这时就用到了梯度下降法，该方法在之后要介绍的很多算法中要用到，所以单独写一篇文章来介绍。

1.概述

梯度下降法也成为最速下降法，是一种一阶最优化算法。

• 首先对所有的参数进行初始化；
• 然后不断更新参数的值，直到目标函数达到最小值。此时模型就被训练完成了。

Require: 学习率 $\alpha$和初始参数$\Theta$
repeat
${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \cdot \frac{\partial J(\Theta )}{\partial {\theta }_j}$
until 达到收敛条件

注意事项
参数同时更新
正确的计算方式：（假设只有两个参数）
$tem{p}_0:={\theta }_0-\alpha \cdot \frac{\partial J(\Theta )}{\partial {\theta }_0}$
$tem{p}_1:={\theta }_1-\alpha \cdot \frac{\partial J(\Theta )}{\partial {\theta }_1}$
${\theta }_0:=tem{p}_0$
${\theta }_1:=tem{p}_1$
错误的计算方式：（假设只有两个参数）
$tem{p}_0:={\theta }_0-\alpha \cdot \frac{\partial J(\Theta )}{\partial {\theta }_0}$
${\theta }_0:=tem{p}_0$
$tem{p}_1:={\theta }_1-\alpha \cdot \frac{\partial J(\Theta )}{\partial {\theta }_1}$
（此时由于${\theta }_0$已经更新，$tem{p}_1$的值将受到影响）
${\theta }_1:=tem{p}_1$

2.公式中各项的含义

收敛准则

不能证明梯度下降法是收敛的，并且没有明确定义的算法停止准则。

通常使用如下方法对是否收敛进行判断：

• 当梯度向量的欧几里得范数达到一个充分小的阈值时。
  $\Vert \nabla \Theta \Vert =\sqrt{(\nabla {\theta }_0{)}^2+(\nabla {\theta }_1{)}^2+\cdots +(\nabla {\theta }_n{)}^2}$
• 当迭代的每一个回合的均方误差变化的绝对速率足够小时。

当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局最优解。一般情况下，其解不保证是全局最优解。其下降速度也不保证是最快的（不同特征之间特征值相差较大的情况下使用特征缩放，能够加快下降速度）。

导数项含义（作用）

导数为正：$\theta =\theta -\alpha \cdot$ (positive number)，$\theta$变小，向代价减小的方向；

导数为负：$\theta =\theta -\alpha \cdot$ (negtive number)，$\theta$变大，向代价减小的方向。
由此可见，导数项的作用是使参数向使得损失逐渐减小的方向更新。

学习率(learning rate)的作用

学习率$\alpha$决定梯度下降的速度

上图引自知乎用户@马同学，图中的$\eta$表示学习率。
由上图可知，学习率太小，导致梯度下降缓慢，而学习率太高，可能越过最低点，导致无法收敛甚至发散，因此，应该选取合适大小的学习率。可以尝试从一系列学习率中（…, 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, …间隔约三倍）选取合适的学习率。

在迭代的过程中，应使梯度下降的速率逐渐缓慢，以免越过最低点，而在实际的操作中，不需要逐渐减小$\alpha$值，因为导数值越来越小，梯度下降会自动变缓慢。

3.批量与小批量

• 批量梯度下降法(Gradient Descent, GD, Batch Gradient Descent)：使用全部训练样本估计梯度进行训练。计算量大，一般不使用批量算法。
• 小批量梯度下降法(Mini Batch Gradient Descent, MBGD)：使用部分训练样本估计梯度进行训练。实际操作中最常使用。
• 随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent, SGD)：每次从固定训练集中抽取一个训练样本估计梯度进行训练。

4.总结

以上就是关于梯度下降算法的内容，其具体应用及实现将在以后的算法中展示。