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线性代数 --- Gram-Schmidt, 格拉姆-施密特正交化（下）_施密特正交化的施密特是谁

作者：知新_RL | 2024-02-26 01:13:56

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施密特正交化的施密特是谁

Gram-Schmidt正交化过程

到目前为止，我们都是在反复强调“对于无解的方程组Ax=b而言，如果矩阵A是标准正交矩阵的话，就怎么怎么好了。。。。”。因为，不论是求投影还是计算最小二乘的正规方程，他们都包含了 $A^{T}A$ 的逆的计算。只有当A为标准正交矩阵Q时，就不再需要计算 $A^{T}A$ 的逆了，这时 $Q^{T}Q=I$ ，可以直接求出最优解 $\hat{x}=Q^{T}b$ 。在实际应用中，为了简化最小二乘的计算，人们会优先把原本不是标准正交矩阵的A，提前变成标准正交矩阵Q。

本文的目的，正是要介绍这种，可以把任意矩阵A变成标准正交矩阵Q的方法。这个方法是由丹麦数学家Jørgen Pedersen Gram和德国数学家Erhard Schmidt共同发明的，被称为Gram-Schmidt正交化过程(Gram–Schmidt process)。是一种，从一组任意向量出发，构造出一组彼此正交的标准正交基的过程。

Gram-Schmidt process:

现有一个无解的方程组Ax=b，矩阵A由三个线性无关的列向量a,b,c组成（如下图所示）。则，Gram-Schmidt正交化过程可以简单的归纳为：

首先，基于列向量a,b,c去构造三个相互正交的列向量A,B,C（这是第一步，这一过程被称为向量的正交化，这是Gram的主要贡献）。构造好以后，我们分别让A,B,C除以他们各自的长度，最终得到我们想要的一组标准正交基 $q_{1}$ , $q_{2}$ , $q_{3}$ （这是第二步，这一过程被称为是向量的归一化，这是schmidt的主要贡献）。最后，令 $q_{1}$ , $q_{2}$ , $q_{3}$ 分别为矩阵的三个列向量，得到标准正交矩阵Q。

Part I：正交化

第一步：令向量A等于向量a，得到第一个向量A，确定了第一个方向。

$A=a$

第二步：因为我要构造的一组正交基是相互正交的，因此，我们的第二个向量B必须垂直于向量A。我们令b减去b在A上的投影向量 $p_{b}$ ，得到b在垂直于A方向上的另一个分量B。事实上，B就是垂直于投影向量 $p_{b}$ 的误差向量 $e_{b}$ 。

$B=b-p_{b}=b-\frac{A^{T}b}{A^{T}A}A$

第三步：用向量c减去c在A和B所张成的子空间(平面)上的投影 $p_{c}$ ，得到垂直于该子空间的另一个分量C。即，垂直于投影向量 $p_{c}$ 的误差向量 $e_{c}$ 。新向量C，既垂直于A也垂直于B。

$C=c-p_{c}=c-\frac{A^{T}c}{A^{T}A}A-\frac{B^{T}c}{B^{T}B}B$

至此，已经完成了向量的正交化。

Part II：归一化

第四步：分别对彼此正交的A,B,C进行归一化，得到向量长度都为1的一组标准正交基 $q_{1}$ , $q_{2}$ , $q_{3}$ 。

$q_{1}=\frac{A}{\left \| A \right \|},\; q_{2}=\frac{B}{\left \| B \right \|},\; q_{3}=\frac{C}{\left \| C \right \|}$

至此，已经完成了所有向量的归一化。

如果还有d向量的话，则需要从d减去d在已经构造好的向量A,B,C三个方向上的投影(或者说是减去d在A,B,C所张成的空间上的投影)，得到垂直于向量A,B,C的另一个分量D。

Gram Schmidt正交化过程的核心思想就是：不断的用新的已知向量(例如b)，减去这个向量在之前已经构造好的向量(例如A)上的投影分量(例如 $p_{b}$ )，得到我们要找的垂直分量/正交向量(例如 $e_{b}$ )。

即：old_vector - projection = new_vector

Example:

最后，我们给出一个Gram Schmidt正交化计算过程的例子，一开始有三个彼此不正交的线性无关向量a,b,c，其中a=[1, -1, 0], b=[2, 0, -2], c=[3, -3, 3]，如下图所示：

用Gram schmidt正交化的idea去构建一组包含三个列向量的正交基q1,q2,q3：

q1,q2,q3是一组标准正交基，他们彼此正交且他们的长度都是1，如下图所示：

这是包含中间结果A,B,C的图示，可见q1,q2,q3与A,B,C的方向相同，唯一不同的是A,B,C还没有归一下：

Matlab code:


%% Example of CSDN 
%Original points
X=[0,0,0];
Y=[0,0,0];
Z=[0,0,0];
U=[1,2,3];
V=[-1,0,-3];
W=[0, -2, 3];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal
legend('a,b,c','Location','northwest')
hold on
 
%Orthogonal vectors
U=[1,1,1];
V=[-1,1,1];
W=[0,-2,1];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',1)
axis equal
legend('a,b,c','A,B,C','Location','northwest')
 
%Orthonormal bases
U=[1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)];
V=[-1/sqrt(2),1/sqrt(6),1/sqrt(3)];
W=[0,-2/sqrt(6), 1/sqrt(3)];
quiver3(X,Y,Z,U,V,W,0,'LineWidth',3)
axis equal
legend('a,b,c','A,B,C','q1,q2,q3','Location','northwest')

（全文完）

作者 --- 松下J27

参考文献(鸣谢)：

1，Introduction to Linear Algebra，Fifth Edition - Gilbert Strang

2，线性代数及其应用，候自新，南开大学出版社 1990

3， https://en.wikipedia.org/wiki/J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram

4，https://en.wikipedia.org/wiki/Erhard_Schmidt

为了纪念这两个算法的发明者Gram和Schmidt，我在文中补充了这两位杰出数学家的肖像。2023/06/25

格言摘抄：

慢慢来才是最快的。--- 无名氏

（配图与本文无关）

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