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§1.3 数列极限
一、数列极限
1、数列概念
若按某一法则,对任意自然数 有一个确定的数
与之对应,那么,这列有序数
称之为数列,且第 项
称之为该数列的一般项。
用函数的观点来看,数列可看作自变量为正整数
的函数:
在几何上,数列是数轴上的一个动点。
2、数列极限的语言
【例1】讨论数列 的极限。
数列一般项为 ,观察易知
当 n 愈来愈大,的值愈来愈接近于0,
的值愈来愈接近于1。因此,我们可以讲,数列
的极限为 1 。
上面的讨论,很大程度上依赖于观察,诸如“愈来愈大”,“愈来愈接近”这类语言也显得含糊不清,因此,我们有必要弄精楚极限的准确数学含义。
在数学上,两个数与
之间的接近程度可以用
来度量,
越小,
与
就越接近。
与1 的接近程度为
。
所谓 “当 n 愈来愈大时,的值愈来愈接近于 1”,意指
当 n 取得足够大时, 可以小于任意给定的正数
。
如:给定 ,只要
,那么数列从第101项起后的一切项
均使不等式 成立。
如:给定 ,只要
,那么数列从第1001项起后的一切项
均使不等式 成立。
一般地
对于任意给定的充分小正数,总可找到一个正整数
,使得对于的一切
时的
,不等式
总成立。
这就是数列极限的精确数学含义!由此,我们给出数列极限的一般定义:
给定数列,若对于任意给定的正数
(无论多么小),总存在一个正整数
,当
时,不等式
总成立,则称常数是数列
的极限,或称
收敛于
。记作
或
(当
时)
如果数列无极限,则称数列
发散。
在这一定义中,数值是核心,通常也称此定义为
语言,用以下符号来加以简述。
,
, 当
时,总有
成立,则称数列以
为极限,记作
。
对极限的精确语言我们给出几点注解:
(1)、正数是任意给定的,因为只有这样不等式
才能表达
与
愈来愈接近的含义,但一经给定就不变了。
(2)、正整数 N 与有关的,一般地讲,
越小
就越大。但通常 N 的选取不唯一,只要找一个就行了。
(3)、数列极限具有非常明显的几何特征
,
, 当
时,有
这表明:数列有无限多项 落入区间
内,至多只有有限项
(至多 N 项)在此区间之外。
这种现象可以用下图来进行直观解释:
数列有无穷多项凝聚在点
的
邻域内,点
象一个吸力非常大的黑洞,在它的附近吸引了数列
中的无穷多项。
(4)、语言只能用来判定数列
是否以
极限,而不能用它来求数列的极限。
3、用语言证明数列极限举例
【例2】试证明极限
解:,欲使
只需,因此可取
,当
时,有不等式
成立,故 。
【例3】设,试证明等比数列
的极限为0。
解:,欲使
只需,即
( 注意到:
)
因此可取,当
时,有不等式
成立,故 。
【例4】设,试证明它的极限为0。
二、收敛数列的两个性质
【定理一】(极限的唯一性) 数列 不能收敛于两个不同的极限。
这一定理所陈述的事实显然。据数列极限的几何意义,收敛的数列不可能有两个凝聚点。
【定理二】(收敛数列的有界性) 设数列收敛,则数列
一定有界。
若数列收敛于
,则它的各项
在数轴上的分布如下图所示
很明显, 数列是有界的。
定理二表明:收敛的数列一定是有界的,那么,有界的数列是否一定收敛呢?
请看一个著名的反例
几何上,该数列取值只是-1、+1两点,显然,它们不可能有什么唯一的凝聚点,但它们却是有界的。这表明:有界数列不一定收敛。
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