离散数学 7.图_多重图和线图

1. 一个图是一个序偶<V ,E>，记为G = < V, E>，其中：
   V= {v1, v2,… , vn}是有限非空集合, V;称为结点(node) , V称为结点集。
   E是有限集合,称为边集。E中的每个元素都有V中的结点对与之对应,称之为边(edge)。
2. 仅由孤立结点组成的图称为零图。
3. 仅有一个结点的图称为平凡图。
4. 既有有向边又有无向边称为混合图。
5. 在图中,两结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边,则这几条边
   称为平行边。两结点a、b间相互平行的边的条数称为边(a, b)或<a, b>的重数。含有平行边的图称为多重图(multigraph) ;非多重图称为线图(line graph) ;无环的线图称为简单图(simple graph)。
6. 设有图G = <V,E> 和图 G1 = <V1, E1>
   若V1⊆ V, E1 ⊆E，则称G1为G的子图。G1⊂G ,G1是G的真子图。
   若V1 = V，E1 ⊆ E ， 则称G1 是G的 生成子图。
   设V2 ⊆ V且 V2 ≠ ∅ ; 在图G中以V2为结点集的所有边集和V2结点集组成的子图称为V2的导出子图。（可以用删除图G结点的方法来实现）
7. 任意两个结点间都有边相连，则称（有向，无向）完全图。
8. G的补图就是从完全图中删除图G中的边。（孤立结点不要漏掉）
9. 图的度记为deg(V)
10. 握手定理：结点度数总和短语边数的二倍。
11. 度数为奇数（偶数）的结点为奇（偶）度数结点，
    度数为奇数的结点个数为偶数
12. 设两个图G=< V,E>和G’=< V’,E’> ,如果存在双射函数g: V→V’,使得对于任意的e= (Vi,Vj)(或者< Vi,Vj>)∈ E当且仅当e’ = (g(Vi), g(Vj ) ) (或者< g(Vi),g(Vj)>)∈E’ ,并且e与e’的重数相同,则称G与G’同构,记为G≌G’.
13. 同构的必要条件：
    1. 结点数目相同。
    2. 边数相同
    3. 度数相同的结点数目相同
14. 若Γ （Γ = v0e1v1e2…ekvk）中边e_i 的两端点是v_i-1和v_i，则称Γ 为结点v0到结点vk的通路。当v0 = vk时，此通路称为回路。
15. 若通路中所有边互不相同，则称此通路为简单通路，否则为复杂通路。回路一样。
16. 边、结点也满足互不相同，称为基本通路或者初级通路。回路中除v0 = vk。
17. 求通路数量

其中m为通路的长度。主对角线上的数相加为回路的数目。

17. 设G<V,E> 为线图，V={v1 , v2…vn}，A = （a_ij）_nxn为G的邻接矩阵，A^m = (a_ij^m)_nxn，m = 1,2,n ;B_n = (b_ijⁿ)_nxn = A+ A²+A³+…+Aⁿ 。则有当v_i ≠ v_j时，如果b_ijⁿ > 0，那么v_i到v_j可达，否则不可达。
    把B_n中可达变为1，不可达变为0 ，得的矩阵P=(p_ij)_nxn 为图G的可达性矩阵。

18. 可达矩阵的简洁求法：
    设G=< V,E>为线图, A、P分别是G的邻接矩阵和可达性矩阵,则有最短通路P= AV A⁽²⁾V A⁽³⁾V …V A^(m),这里, A⁽ⁱ⁾表示做矩阵布尔乘法的i次幂.

19. 如果vi到vj可达，则称长度最短的通路为从vi到vj的短程线。距离记为d(i,j)。

20. 结点间距离的判定 无向图相关

21. 若无向图G中的任何两个结点都是可达的，则称G是连通图。
    无向完全图K_n都是连通图。
    非平凡无向线图G是连通图当且仅当它的可达矩阵P的所有元素均为1。

22. 无向图G = <V,E>结点之间的可达关系R = {<u,v>| u,v ∈V}则R是V上的等价关系。R是自反的，对称的，传递的。

23. 无向图G=< V,E>中结点之间的可达关系R的每个等价类导出的子图都称为G的一个连通分支。用p(G)表示G中的连通分支个数。

点割集与边割集

24. 图的删除：G - e表示从图G中删除边e; G - v表示从图中删除结点v及其关联的所有边。
25. 设无向图G=< V,E> ,若存在结点子集V’ C V,使得p(G- V’)> p(G)（连通分支个数增加）,而对于任意的 V" ⊂ V’,均有p(G- V")=p(G)（其他结点不会导致）,则称V’为G的-一个点割集。特别地,若点割集中只有一个结点，则称v为割点。（边割集、割边同理）
26. 最少删除图G的结点个数k(G)才会导致连通分支个数增加，则称为G的点连通度，若K(G)>=K, K =1,2… ；则称G为K-连通图。（边连通度同理）
27. 若G是平凡图，则V’=0, E’= 0,所以k(G)=λ(G)= 0;
    。若G是完全图Kn，则G无点割集。当删除n-1个结点后成为平凡图,因
    而k(G)= n- 1。显然，λ(G)= n- 1;
    。若G中存在割点，则λ(G)=1。若G中存在割边，则λ(G)= 1。
    。若G是非连通图,因为不用删除结点或边就已经不连通了,所以规定非连
    通图的点连通度和边连通度均为0。

有向图的连通性

28. 有向图结点之间的可达关系仅仅具有自反性和传递性。
29. 设G=< V,E>是一个有向图,

• 略去G中所有有向边的方向得无向图是连通图，则称有向图G是连通图或称为弱连通图。否则称G是非连通图;
• 若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的（单向）,则称G是单向连通图;（充要条件G中存在一条经过所有结点至少一次的通路）
• 若G中任何一对结点之间都是相互可达的，则称G是强连通图。（充要条件是G中存在一条经过所有结点至少一次的回路）
  

30. 邻接矩阵判断法判断连通图：

• 有向线图G是强连通图当且仅当它的可达性矩阵P的所有元素均为1 ;
• 有向线图 G是单向连通图当 且仅当它的可达性矩阵P及其转置矩阵 pT经过布尔加运算后所得的矩阵P’ = PV P^T中除主对角元外其余元素均为1 ;
• 有向线图G是弱连通图当且仅当它的邻接矩阵A及其转置矩阵AT经布尔加运算所得的矩阵A’= A V A^T作为邻接矩阵而求得的可达性矩阵P’ 中所有元素均为1.（A’、P’为有向图转为无向图的邻接矩阵、可达矩阵）

31. 
32. 定理：在有向图G=< V,E>中,它的每一个结点位于且仅位于一个强(弱)连通分支中，至少位于一-个单向连通分支中.

• 在有向图G=< V,E>中,它的每一条边至多在一 个强连通分支中;至少在一-个单向连
  通分支中;在且仅在一个弱连通分支中。
• 弱连通分支:图的不互连部分
• 强连通分支:极大回路
• 单向连通分支:极大通路