评价类模型

• 层次分析法（AHP）
• 优劣距离解法（Topsis）

在解决评价类问题之前，首先要确定的三个问题：

• 我们的评价目标是什么？
• 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
• 评价的准则或者指标是什么？以及各个指标权重的确定。

层次分析法

1.确定评价指标

根据已有发表的同主题论文，专家的看法。

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2.确定指标的权重

分而治之的思想
两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

【注】两指标比较的重要程度表：（有时候重要性也可解释为满意度）

设计指标重要程度比较表即判断矩阵。
【注】这个比较表是由“专家”填的

表中的n*n个元素构成n*n判断矩阵
【注】判断矩阵：判断矩阵表示针对上一层次的某元素, 本层次与它有关的元素之间相对重要性的比较

• $a_{ij}$代表的含义是，与指标$j$相比，$i$的重要程度。
• 当$i=j$时，同等重要记为1，因此主对角线元素为1。
• $a_{ij}>0$且满足$a_{ij}\ast a_{ji}=1$。（满足该条件的我们称为正互反矩阵，所以判断矩阵一定是正互反矩阵）

三种方法根据判断矩阵求指标的权重

求出各个方案在不同指标下的得分

针对每一个指标填写判断矩阵
【满意程度】

一致性检验

【注意】出现不一致现象！
判断矩阵可能会有互相矛盾的问题：A>B,B>C,A=C同时出现。

【解决】一致矩阵（一致性检验）
一致矩阵的特点：
$a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}，a_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}$
所以：$$a_{ik}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}=\frac{a_{ij}}{a_{jk}}$$
从矩阵上来看，该特点表现为各行各列之间成倍数关系。（每一行或每一列为一个整体）
一致矩阵的定义：
矩阵中每个元素$a_{ij}>0$且满足$a_{ij}\ast a_{ji}=1$，则称该矩阵为正互反矩阵。在层次分析法中我们构造的判断矩阵是正互反矩阵，若正互反矩阵满足$a_{ij}\ast a_{jk}=a_{ik}$，我们称其为一致矩阵。

在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

【总结】层次分析法的步骤

1. 分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
   论文中一定要有层次结构图
   可以使用流程图绘制软件：
   【例子】选择旅游地
   

2. 对于同一层次的个元素关于上一层次中某一项（准则）的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。

• 任何评价类模型都具有一定的主观性，论文中判断矩阵中的数字基本都是自己填的，可以不用交代数据来源。
• 准则层——方案层中判断矩阵的数值要结合实际来写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。
• 判断矩阵表示针对上一层次的某元素, 本层次与它有关的元素之间相对重要性的比较

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过，权重才能用）

• 三种方法计算权重：（1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法
• 三种方法最好都使用，为了结果的稳健性。
  【例如】本文采用了三种方法分别求出权重，三种方法的结果相差不大，进一步说明了权重计算的可靠性，最终的权重采用三种方法的平均值。再根据得到的权重矩阵计算各个方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所造成的偏差，得出的结论更全面，更有效。
• 一致性检验的步骤，以CR=0.1为界，若未通过一致性检验，应当适当修改模型数据（判断矩阵中的数值）。

4. 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

层次分析法的局限性

• 评价的决策层（方案层）不能太多，同样准则层也不能太多。太多的话n会很大，判断矩阵跟一致矩阵的差异可能会很大。平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。
• 如果决策层中的指标数据是已知的，则判断矩阵中的数值不再由自己主观填写，这个时候，层次分析法不再适用。应该利用这些客观数据使评价更加准确。

模型拓展

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TOPSIS——优劣解距离法

针对层次分析法的局限性，TOPSIS法是一种综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。
【基本过程】
先将原始数据矩阵统一指标类型（指标正向化），得到正向化后的矩阵，在对正向化后的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到优先方案中的最优方案和最劣方案，然后分别计算各评价对象与最优方案和最劣方案之间的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的根据。该方法对于数据分布以及样本容量没有严格限制，数据计算简单易行。

TOSIS求解的一般步骤

将原始矩阵正向化

如果该评价任务涉及到多个指标，并且每个指标的类型也不同，则需要进行正向化
最常见的四种指标：

将原始矩阵正向化就是指将所有的指标统一化成极大型指标（转换的函数形式不唯一）

• 极小型指标
  $$max-x$$如果所有元素均为正数，那么也可以使用倒数$\frac{1}{x}$
• 中间型指标
  设指标序列为 { x i } \{ x_{i}\} {xi​}，且最佳数值为$x_{best}$，正向化后的序列为 { x ~ i } \left \{ \widetilde{x}_{i} \right \} {x i​}，则 M = m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } , x ~ i = 1 − ∣ x i − x b e s t ∣ M M=max\left \{ |x_i-x_{best}| \right \},\tilde{x}_i=1-\frac{|x_i-x_{best}|}{M} M=max{∣xi​−xbest​∣},x~i​=1−M∣xi​−xbest​∣​
  【例子】

M = m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } = 2 , x b e s t = 7 M=max\left \{ |x_i-x_{best}| \right \}=2,x_{best}=7 M=max{∣xi​−xbest​∣}=2,xbest​=7

• 区间型指标
  { x i } \left \{x_i \right \} {xi​}是一组区间型指标，且最佳区间为[a,b]，那么正向化的公式如下：
  M = m a x { a − m i n { x i } , m a x { x i } − b } , x ~ i = { 1 − a − x M , x < a 1 , a ≤ x ≤ b 1 − x − b M , x > b M=max \left \{a-min\left \{x_i \right\},max\left \{x_i \right\}-b \right \},\tilde{x}_i=\left\{ $$\begin{matrix} 1-\frac{a-x}{M},x<a\\ 1,a\leq x\leq b\\ 1-\frac{x-b}{M},x>b \end{matrix}$$ \right. M=max{a−min{xi​},max{xi​}−b},x~i​=⎩⎨⎧​1−Ma−x​,x<a1,a≤x≤b1−Mx−b​,x>b​
  【例子】

a = 36 , b = 37 , M = m a x { 36 − 35.2 , 38.4 − 37 } = 1.4 a=36,b=37 ,M=max\left \{ 36-35.2,38.4-37 \right \}=1.4 a=36,b=37,M=max{36−35.2,38.4−37}=1.4

正向化矩阵标准化

标准化的目的是为了消除不同指标量纲的影响
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了的）构成正向化矩阵如下：
X = [ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m ] X=

$$\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix}$$ X=⎣⎢⎢⎢⎡​x11​x21​⋮xn1​​x12​x22​⋮xn2​​⋯⋯⋱⋯​x1m​x2m​⋮xnm​​⎦⎥⎥⎥⎤​
那么对其标准化的矩阵记为Z，Z中每一个元素$$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}(\frac{每一个元素}{\sqrt{其所在列的元素的平方和}})$$
【注】，标准化的方法有很多种，主要目的就是为了去除量纲的影响，例如还有$\frac{x-x的均值}{x的标准差}$，具体选用哪一种方法并没有很大的限制，这里采用的方法是以前论文中用得比较多的方法。

计算得分并归一化

假设上面标准化的矩阵为 Z = [ z 11 z 12 ⋯ z 1 n z 21 z 22 ⋯ z 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z m 1 z m 2 ⋯ z m n ] Z=

$$\begin{bmatrix} z_{11} & z_{12} & \cdots & z_{1n}\\ z_{21} & z_{22} & \cdots & z_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ z_{m1} & z_{m2} & \cdots & z_{mn} \end{bmatrix}$$ Z=⎣⎢⎢⎢⎡​z11​z21​⋮zm1​​z12​z22​⋮zm2​​⋯⋯⋱⋯​z1n​z2n​⋮zmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​
定义最大值或者最优方案： Z − = ( Z 1 + , Z 2 + , ⋯   , Z m + ) = ( m a x { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , m a x { z 21 , z 22 , ⋯   , z 2 n } , ⋯   , m a x { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z n m } ) $$\begin{aligned} Z^-&=(Z_{1}^+,Z_{2}^+,\cdots,Z_{m}^+)\\ &=(max\left \{ z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1} \right \},max\left \{ z_{21},z_{22},\cdots,z_{2n} \right \},\cdots,max\left \{ z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm} \right \}) \end{aligned}$$ Z−​=(Z1+​,Z2+​,⋯,Zm+​)=(max{z11​,z21​,⋯,zn1​},max{z21​,z22​,⋯,z2n​},⋯,max{z1m​,z2m​,⋯,znm​})​

定义最小值或最劣方案： Z − = ( Z 1 − , Z 2 − , ⋯   , Z m − ) = ( m i n { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , m i n { z 21 , z 22 , ⋯   , z 2 n } , ⋯   , m i n { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z n m } )

$$\begin{aligned} Z^-&=(Z_{1}^-,Z_{2}^-,\cdots,Z_{m}^-)\\ &=(min\left \{ z_{11},z_{21},\cdots,z_{n1} \right \},min\left \{ z_{21},z_{22},\cdots,z_{2n} \right \},\cdots,min\left \{ z_{1m},z_{2m},\cdots,z_{nm} \right \}) \end{aligned}$$ Z−​=(Z1−​,Z2−​,⋯,Zm−​)=(min{z11​,z21​,⋯,zn1​},min{z21​,z22​,⋯,z2n​},⋯,min{z1m​,z2m​,⋯,znm​})​

定义第$i(i=1,2,\cdots ,n)$个评价对象与最大值的距离$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$

定义第$i(i=1,2,\cdots ,n)$个评价对象与最小值之间的距离为$D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$

由此我们可以计算出第$i(i=1,2,\cdots ,n)$个评价对象的未归一化的得分为$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$很明显$0\le S_i\le 1$，且$S_i越大,D_i^{+}越小$，即越接近最大值。

【说明】构造计算评分的公式：$\frac{x-min}{max-min}=\frac{x-min}{max-x+x-min}$
对于最大值和最小值来说，不论数值是多少，只要保持是最大和最小，这个公式求出的结果都是一样的，所以可能会存在不敏感的地方。

但是往往：

• 比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
• 比较的指标也往往不只是一个方面，例如成绩，工时数，课外竞赛得分等。
• 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标（GDP增速）

【注意】要区别好归一化与标准化

归一化的计算步骤也可以消去量纲的影响，但更多时候我们归一化的目的是为了让我们的结果更加容易解释，或者说让我们对结果有一个更加清晰直观的印象。例如得分归一化后，可以限制在0~1区间内，对区间内的每一个得分，我们很容易地得到其所处的比例位置。

TOPSIS模型拓展

• 若不同指标的权重不同，则在计算时，前面不变，后面计算未归一化的得分时，定义第$i(i=1,2,\cdots ,n)$个评价对象与最大值的距离$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2}$
  定义第$i(i=1,2,\cdots ,n)$个评价对象与最小值之间的距离为$D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2}$，后面不变。