DP类型题目实战_在一个m行n列的网格中,每个网格的各边的长度均相等,求由a(x1,y1)点到达b(x2,y2)点

1：0-1背包

给定n(n<=100)种物品和一个背包。物品i的重量是wi(wi<=100)，价值为vi(vi<=100)，背包的容量为C(C<=1000)。
应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两个选择：装入或不装入。不能将物品i装入多次，也不能只装入部分物品i。

输入格式:
共有n+1行输入：
第一行为n值和c值，表示n件物品和背包容量c；
接下来的n行，每行有两个数据，分别表示第i(1≤i≤n)件物品的重量和价值。

输出格式:
输出装入背包中物品的最大总价值。

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：

5 10
2 6
2 3
6 5
5 4
4 6
1
2
3
4
5
6

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

15
1

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    cout << f[m];
    
    return 0;
}
1
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3
4
5
6
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2：01背包

事情是这样的，jzk要去爬山，但是他的包容量有限，可是他需要非常多的能量，要不然就很容易饿。
第一行给出jzk准备爬几次山。
每次爬山都会带新的包（因为jzk每用一个包都会被zwg抢过去），和准备新的食物（因为每次剩下来的都被zwg吃了）。
下一行给你这一次食物的数目n，和背包容量k，
接下来的一行给出n个食物的能量，再一行给出n个食物的大小（占背包的容量）。
请帮助jzk计算他最多可以带多少能量的食物去爬山。输出可以携带食物的最大能量和。
(n,m<1000) 能量和食物均小于40000

输入格式:
第一行包含整数T，表示有T组案例。

接着是T组案例，每组案例三行，第一行包含两个整数N，M，（N<=1000，M<=1000），表示物品数量和袋子的体积。第二行包含表示每个物品能量的n个整数。第三行包含代表每个物品体积的n个整数。

输出格式:
每组案例一行，只输出一个数字，表示jzk可以获得的最大能量。

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：

1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
1
2
3
4

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

14
1

TIPS:
（包容量是10）可以带第2,3,4,5,个食物，2 + 3 +4 +5 = 14

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 40010;

int n, m;
int f[N], w[N], v[N];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T -- )
    {
        memset(f, 0, sizeof f);  // 初始化
        cin >> n >> m;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> w[i];
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> v[i];
        
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
        cout << f[m] << endl;;
    }
    return 0;
}
1
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3：最短路径条数（线性DP）

作者 夏仁强
单位 贵州工程应用技术学院

在一个m行n列的网格中，每个网格的各边的长度均相等，求由A(x1,y1)点到达B(x2,y2)点的最短路径条数，其中1<=m,n<=30。输入保证x2>=x1,y2>=y1
如有下图网格，起点和终点分别是A(1,1),B（2，3）
则最短路线是:

   (1,1)->(1,2)->(1,3)->(2,3)
   (1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)
   (1,1(->(1,2)->(2,2)->(2,3)
1
2
3

共3条最短路线

输入格式:
第一行输入网格的行数m和列数n
第二行输入A点的坐标
第三行输入B点的坐标

输出格式:
输出一个整数,表示从A点到达B点的最短路线条数

输入样例1:

6 7
1 1
2 3
1
2
3

输出样例1:

3
1

输入样例2:

30 30
1 1
30 30
1
2
3

输出样例2:

51542064
1

代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
64 MB

解析：

4：一步两步（线性DP）

作者 张洪旗
单位 海南师范大学

你要过河，但是没有桥，只有由一排石头堆成的石头路，你一次只能跨一个石头或者两个石头，求你到第n个石头有多少种走法。

输入格式:
正整数n

输出格式:
可能性的个数

输入样例1:
在这里给出一组输入。例如：

1
1

输出样例1:
在这里给出相应的输出。例如：

1
1

输入样例2:
在这里给出一组输入。例如：

2
1

输出样例2:
在这里给出相应的输出。例如：

2
1

输入样例1:
在这里给出一组输入。例如：

8
1

输出样例1:
在这里给出相应的输出。例如：

34
1

代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
64 MB

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];

int main()
{
    f[1] = 1; f[2] = 2;
    
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 3; i <= n; i ++ )
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    
    cout << f[n];
    
    return 0;
}
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2
3
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5：青蛙跳台阶

作者 房正华
单位 青岛工学院

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上2 级。求该青蛙跳上一个n 级的台阶总共有多少种跳法。

输入格式:
首先输入数字n，代表接下来有n组输入，50>=n>=0,然后每行一个数字，代表台阶数，数字为小于60的整数

输出格式:
对每一组输入，输出青蛙的跳法。

输入样例:

3
1
2
3
1
2
3
4

输出样例:

1
2
3
1
2
3

代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
64 MB

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 50;

int f[N];

int main()
{
    f[1] = 1; f[2] = 2;
    
    for (int i = 3; i <= 50; i ++ ) //  预处理
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- )
    {
        int x;
        cin >> x;
        cout << f[x] << endl;
    }
    
    return 0;
}
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6：数字三角形问题

作者 夏仁强
单位 贵州工程应用技术学院

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

对于给定的由n行数字组成的数字三角形，计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

输入格式:
输入数据的第1行是数字三角形的行数n，1≤n≤100。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0…99之间。

输出格式:
输出数据只有一个整数，表示计算出的最大值。

输入样例:
在这里给出一组输入。例如：

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
1
2
3
4
5
6

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

30
1

代码长度限制
16 KB
时间限制
400 ms
内存限制
64 MB

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int a[N][N], f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            cin >> a[i][j];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) f[n][i] = a[n][i];
    
    for (int i = n - 1; i >= 1; i -- )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j];
    
    cout << f[1][1];
    
    return 0;
}
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