信号去噪——BPD问题求解_bpd算法 matlab

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问题描述

原始信号为$s(n)$，噪声为$w(n)$，则采集到的信号可表示为
$$y(n)=s(n)+w(n)$$目标是从含噪信号$y(n)$中恢复出无噪信号$s(n)$。

建立模型

假设无噪声信号$s(n)$在某个域具有稀疏表示，即可写成$$s=Ax$$的形式。这里我们假设这个域为频域。
那么，可以将带噪信号可写为:$$y=Ax+w$$其中，$A$为$M\ast N$的傅里叶逆变换矩阵，定义如下

$y$是长度为$M$的向量，$x$是长度为$N$的向量，$x$中只有少数位置的值不为零，其余位置都为零。因此，从含噪信号$y(n)$中恢复出无噪信号$s(n)$的问题转化为BPD问题求解。其模型如下：

求解出$c$后可得不含噪声的信号$s=Ac$。

模型求解

BPD问题是L1-范数惩罚项最小二乘问题，通过变量分裂，可把优化问题写成：

令

则优化问题可写成

对于上述式子，可以采用ALM（augmented Lagrangian method）/MM（method
of multipliers ）算法求解。得到迭代算法如下:

Eckstein和Bertsekas证明，在更一般的情况下，如果上式中的极小化在$x$和$u$之间交替进行，算法仍会收敛到全局最小。这种技术被称为alternating direction method of multipliers (ADMM)。交替对每一个x和u进行最小化，因此我们得到了算法:

该算法在也被称为SALSA (split augmented Lagrangian shrinkage algorithm)。

问题求解及展示

用MATLAB生成模拟信号如下

M = 100;
N = 256;
m = 0:M-1;
f1 = 0.1;
f2 = 0.22;
y0 = 2*cos(2*pi*f1*m)+sin(2*pi*f2*m);
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6

添加正态分布$N(0,1)$的随机噪声

R = normrnd(0,1,1,M);
y = y0+R;
1
2

BPD去噪之后的效果如下：

图片汇总

参考文献：
[1].M. V. Afonso, J. M. Bioucas-Dias, and M. A. T. Figueiredo. Fast image recovery using variable splitting and constrained
optimization. IEEE Trans. Image Process., 19(9):2345–2356, September 2010.

[2].J. Eckstein and D. Bertsekas. On the Douglas-Rachford splitting method and the proximal point algorithm for maximal
monotone operators. Math. Program., 5:293–318, 1992.

[3].L1-norm penalized least squares with SALSA. Ivan selesnick.